速求高中數學柯西不等式證明過程!!!

2023-03-18 22:55:05 字數 2220 閱讀 5091

1樓:閱盡天涯離恨苦

解:樓上的是課本中介紹的最常規的證法。

下面我介紹一種簡單方法。

設n維向量a=(a1,a2,a3,··an)向量b=(b1,b2,b3···bn)

向量a·向量b=|向量a|·|向量b|cosθ∵向量a·向量b≤|向量a|·|向量b|

∴(向量a·向量b)²≤向量a|·|向量b|]²a1²+a2²+.an²)(b1²+b2²+.bn²)≥a1b1+a2b2+a3b2...anbn)²

柯西不等式的證明過程,要詳細

2樓:匿名使用者

柯西不等式有很多,不是很多,拓麻的,幾乎都是他的。

用柯西不等式解的數學證明題

3樓:保禧撒沈

柯西不等式的一般證法有以下幾種:■①cauchy不等式的形式化寫法就是:記兩列數分別是ai,bi,則有。

(∑ai^2)

*(∑bi^2)

≥(∑ai*bi)^2.

我們令f(x)

=∑(ai+x

*bi)^2

=(∑bi^2)

*x^2+2

*(∑ai*bi)*x

+(∑ai^2)

則我們知道恆有。

f(x)≥0.

用二次函式無實根或只有一個實根的條件,就有δ=4*

(∑ai*bi)^2-4

*(∑ai^2)

*(∑bi^2)≤0.

於是移項得到結論。

■②用向量來證。

m=(a1,a2...an)

n=(b1,b2...bn)

mn=a1b1+a2b2+..anbn=(a1^+a2^+.an^)^1/2乘以(b1^+b2^+.bn^)^1/2乘以cosx.

因為cosx小於等於0,所以:a1b1+a2b2+..anbn小於等於a1^+a2^+.an^)^1/2乘以(b1^+b2^+.bn^)^1/2

這就證明了不等式。柯西不等式還有很多種,這裡只取兩種較常用的證法。

柯西不等式的證明!

高中柯西不等式證明問題求解

4樓:匿名使用者

第一題:【by 西陵楚客】

由柯西不等式。

(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=a*1/a+b*1/b+c*1/c)^2=(1+1+1)^2=9

a+b+c=1

所以1/a+1/b+1/c>=9

又由柯西不等式。

[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2](1+1+1)

>=[a+1/a)*1+(b+1/b)*1+(c+1/c)]^2

=[(a+b+c)+(1/a+1/b+1/c)]^2

=[1+(1/a+1/b+1/c)]^2

即3[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2]>=100

所以(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2>=100/3

所以最小值=100/3

第二題:由柯西不等式:

[(1+a)+(1+b)+(1+c)][a²/(1+a)+b²/(1+b)+c²/(1+c)]>a+b+c)^2

故:a²/(1+a)+b²/(1+b)+c²/(1+c)>=1/4

等號當且僅當:a²/(1+a) :1+a)=b²/(1+b) :1+b)=c²/(1+c) :1+c)

即a/(1+a)=b/(1+b)=c/(1+c),也即a=b=c=1/3時成立。

故abc=1/27

5樓:西陵楚客

由柯西不等式。

(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=a*1/a+b*1/b+c*1/c)^2=(1+1+1)^2=9

a+b+c=1

所以1/a+1/b+1/c>=9

又由柯西不等式。

[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2](1+1+1)

>=[a+1/a)*1+(b+1/b)*1+(c+1/c)]^2

=[(a+b+c)+(1/a+1/b+1/c)]^2

=[1+(1/a+1/b+1/c)]^2

即3[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2]>=100

所以(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2>=100/3

所以最小值=100/3