設f x 在上連續,證明abf x dx

2021-04-21 18:47:26 字數 2531 閱讀 3036

1樓:

設某一點函式值不是0.則由函式連續,存在區間內這個點的鄰域,鄰域內函式值不為零(就是大於0),拆區間為三部分,鄰域部分積分恆大於0,另兩個區間積分非負,所以得正

設f(x)在[0.1]連續,證明∫(0→1)[f(x)^2]dx≥[∫(0→1)f(x)dx]^2 50

2樓:寂寞的楓葉

解:設∫(0,1)f(x)dx=m,那麼(f(x)-m)^2≥0,

因此∫(0,1)(f(x)-m)^2dx≥0,

又(f(x)-m)^2=(f(x))^2-2m*f(x)+m^2,那麼

∫(0,1)(f(x)-m)^2dx=∫(0,1)f(x))^2dx-∫(0,1)(2m*f(x))dx+∫(0,1)m^2dx

=∫(0,1)f(x))^2dx-2m∫(0,1)f(x)dx+m^2

=∫(0,1)f(x))^2dx-2*∫(0,1)f(x)dx*∫(0,1)f(x)dx+∫(0,1)f(x)dx*∫(0,1)f(x)dx

=∫(0,1)f(x))^2dx-∫(0,1)f(x)dx*∫(0,1)f(x)dx=∫(0,1)f(x))^2dx-(∫(0,1)f(x)dx)^2

又∫(0,1)(f(x)-m)^2dx≥0,所以,∫(0,1)f(x))^2dx-(∫(0,1)f(x)dx)^2≥0,

即∫(0,1)f(x))^2dx≥(∫(0,1)f(x)dx)^2

3樓:匿名使用者

要證明的積分上限應該是1.證明思路:先交換積分順序,然後交換變數的符號,

相加除以2即可.

原式=∫【0,1】dy∫【0,y】f(x)f(y)dx 這是交換積分順序

=∫【0,1】dx∫【0,x】f(x)f(y)dy 這是對上乙個積分中的x,y變數互換符號而已

=0.5∫【0,1】dx∫【0,1】f(x)f(y)dy上面個兩個積分相加除以2,注意內層積分恰好是從0到x和從x到1=0.5∫【0,1】f(x)dx∫【0,1】f(y)dy=0.

5a^2.

設f(x)在[a,b]上連續,證明 (∫abf(x)dx)2≤(b-a)∫abf2(x)dx

大一高等數學 設f(x)在[a,b]上連續,證明:∫baf(x)dx=∫baf(a+b-x)dx

4樓:匿名使用者

令a+b-x=u,則x=a時u=b,x=b時u=a,dx=-du(這個過程中a,b均為引數)

則原積分化為—∫ab f(u)du=∫ba f(u)du,得證

這類題目都是對積分變數進行適當變換即可證明

設函式f(x)在區間[a,b]上連續,證明:∫f(x)dx=f(a+b-x)dx

5樓:發了瘋的大榴蓮

證明:做變數替換a+b-x=t,則dx=-dt,當x=b,t=a,當x=a,t=b

於是∫(a,b)f(a+b-x)dx

=-∫(b,a)f(t)dt

= ∫(a,b)f(t)dt

=∫(a,b)f(x)dx

即∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(a+b-x)dx

6樓:匿名使用者

^因為積分區域d關於直線y=x對稱,所以二重積分滿足輪換對稱性,即∫∫(d) e^[f(x)-f(y)]dxdy=∫∫(d) e^[f(y)-f(x)]dxdy

=(1/2)*

=(1/2)*∫∫(d) dxdy

>=(1/2)*∫∫(d) 2*√dxdy=∫∫(d) dxdy

=(b-a)^2

設f(u)在[a,b]上連續,證明∫(a,b)dx∫(a,x)(x-y)f(y)dy=

7樓:exo不偷井蓋

證明:做變數替換baia+b-x=t,則dx=-dt,當x=b,t=a,當x=a,t=b 於是 ∫du(a,b)f(a+b-x)dx =-∫(b,a)f(t)dt= ∫(a,b)f(t)dt=∫(a,b)f(x)dx 即∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(a+b-x)dx 命題得證。 【注:

緊跟zhi積分符號後面的為積分區間dao】

設f(x)在[a,b]上連續,且f(x)>0,證明:至少存在一點ξ∈(a,b),使得∫f(x)dx=

8樓:援手

令g(x)=∫f(t)dt*∫f(t)dt(第乙個積分限a到x,第二個積分限x到b),根據變上限積分的求導法則,g'(x)=f(x)∫f(t)dt(積分限x到b)-f(x)∫f(t)dt(積分限a到x),由於g(a)=g(b)=[∫f(t)dt]^2(積分限a到b),根據羅爾定理,存在ξ∈(a,b)使得g'(ξ)=0,即f(ξ)∫f(t)dt(積分限ξ到b)-f(ξ)∫f(t)dt(積分限a到ξ),由於f(ξ)>0,上式兩邊除f(ξ)即得要證的等式。

這種題關鍵就在於構造輔助函式,一般將要證的式子變形,其中有ξ的地方換成x,為了用羅爾定理,就要讓輔助函式在區間端點的函式值相等,且想辦法讓輔助函式的導函式等於0時的表示式和要證的等式盡可能相似。

設fx在上具有連續導數,且f00證明

利用定積分的柯西 許瓦茨不等式 可得 f 1 小於等於右邊的定積分 不等式恆成立 則,f x 的最大值小於等於右邊的定積分過程如下 對任意的x,f 0 f x f x 0 x f 1 f x f x 1 x 兩式相加得 2f x 2x 1 f x 即f x x 1 2 f x 且0 x 1 l f ...

fx在上連續,且fx0證明在a,b

乙個零點的證明可考慮用介值定理 單調性 1.證明至少乙個零點 令f x f t dt 1 f t dt,a x b f x 在 a,b 連續,且f x 0,f x 在 a,b 可導 當然也是連續的 而f a 1 f t dt 0,f b f x dx 0 由連續函式介值定理可知,至少存在一點 a,b...

設fx在區間上連續,證明bafxdx

證明 做變數替換a b x t,則dx dt,當x b,t a,當x a,t b 於是 a,b f a b x dx b,a f t dt a,b f t dt a,b f x dx 即 a,b f x dx a,b f a b x dx 命題得證。注 緊跟積分符號後面的為積分區間 設fx在區間 a...