1樓：匿名使用者
乙個零點的證明可考慮用介值定理+單調性
1. 證明至少乙個零點
令f(x)=∫f(t)dt-∫1/f(t)dt，a≤x≤b∵f(x)在[a,b]連續，且f(x)>0，∴f(x)在[a,b]可導(當然也是連續的)
而f(a)= -∫1/f(t)dt<0，f(b)= ∫f(x)dx>0
由連續函式介值定理可知，至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0即∫f(x)dx=∫1/f(x)dx
2. 證明只有乙個零點
∵f』(x)=f(x)+1/f(x)>0，∴f(x)在[a,b]上單調增加
因此，有且只有一點ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0即∫f(x)dx=∫1/f(x)dx
設f(x)在[a,b]上連續,且f(x)>0,證明:∫b a f(x)dx*∫b a 1/f(x)dx≥(b-a)^2
2樓：老von子
令f(x)=(∫b a f(t)dt ) x^2 -(2∫b a 1dt)x +(∫b a 1/f(t)dt)，則：
f(x)=∫b a f(t) x^2 dt -2∫b a xdt +∫b a 1/f(t)dt
=∫b a [f(t) x^2 -2x +1/f(t)]dt=∫b a dt ≥0
故這個關於x的二次函式f(x)的判別式應小於等於0，即：
△=(2∫b a 1dt)^2 -4(∫b a f(t)dt )(∫b a 1/f(t)dt)=4(b-a)^2 -4(∫b a f(t)dt )(∫b a 1/f(t)dt)≤0
即：(∫b a f(t)dt )(∫b a 1/f(t)dt)≥(b-a)^2
把t換成x即為要證明的結論
注：實際上這就是積分形式的柯西不等式。
設f(x)在[a,b]上連續，且f(x)＞0,證明：至少存在一點ξ∈(a,b),使得∫f(x)dx=
3樓：援手
令g(x)=∫f(t)dt*∫f(t)dt（第乙個積分限a到x，第二個積分限x到b），根據變上限積分的求導法則，g'(x)=f(x)∫f(t)dt（積分限x到b）-f(x)∫f(t)dt（積分限a到x），由於g(a)=g(b)=[∫f(t)dt]^2（積分限a到b），根據羅爾定理，存在ξ∈(a,b)使得g'(ξ)=0，即f(ξ)∫f(t)dt（積分限ξ到b）-f(ξ)∫f(t)dt（積分限a到ξ），由於f(ξ)>0，上式兩邊除f(ξ)即得要證的等式。
這種題關鍵就在於構造輔助函式，一般將要證的式子變形，其中有ξ的地方換成x，為了用羅爾定理，就要讓輔助函式在區間端點的函式值相等，且想辦法讓輔助函式的導函式等於0時的表示式和要證的等式盡可能相似。
f(x)在【a,b】上連續，在(a,b)內可導，且f(a)=f(b)=0,證明在(a,b)內至少有一點§，使f'(§)+f(§
4樓：一客小草
你說的是羅爾中值定理吧
羅爾（rolle）中值定理
如果函式f(x)滿足以下條件：
①在閉區間[a,b]上連續，
②在(a,b)內可導，
③f(a)=f(b)，
則至少存在乙個ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0.
羅爾中值定理的證明
證明：因為函式f(x)在閉區間[a,b]上連續，所以存在最大值與最小值，分別用m和m表示，現在分兩種情況討論：
1.若m=m，則函式f(x)在閉區間[a,b]上必為常數，結論顯然成立
2.若m>m，則因為f(a)=f(b)使得最大值m與最小值m至少有乙個在(a,b)內某點ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值費馬定理點，由條件f(x)在開區間(a,b)內可導得:f(x)在ξ處可導，故由推知:
f'(ξ)=0。
羅爾中值定理的幾何意義
若連續曲線y=f(x)在區間[a,b]上所對應的弧段ab，除端點外處處具有不垂直於x軸的切線，且在弧的兩個端點a,b處的縱座標相等，則在弧ab上至少有一點c，使曲線在c點處的切線平行於x軸。
羅爾中值定理還有兩個公升級版，拉格朗日中值定理和柯西中值定理。拉格朗日中值定理是羅爾中值 的推廣，又是柯西中值的特殊情況，這三個在高等數學裡是基本定理，很常用很好用。
5樓：匿名使用者
你好這是中值定理，在高等數學上，書上直接有類似的。
6樓：我的魏小姐
是f'(§)=f(§)麼？
設函式f（x）在區間[a，b]上連續，且在（a，b）內有f′（x）＞0，證明：在（a，b）內存在唯一的ξ，使曲
7樓：力頂涙
∵s1=∫ξa
[f(ξ)?f(x)]dx＝(ξ?a)f(ξ)?∫ξaf(x)dx，
s2=∫bξ
[f(x)?f(ξ)]dx＝∫bξ
f(x)dx?(b?ξ)f(ξ)
∴由s1=3s2得：
(ξ?a)f(ξ)?∫ξa
f(x)dx＝3∫bξ
f(x)dx?3(b?ξ)f(ξ)…①
下證方程①在ξ∈（a，b）有唯一解
首先證明解的存在性，其次證明解的唯一性
設f(ξ)＝(ξ?a)f(ξ)?∫ξa
f(x)dx?3∫bξ
f(x)dx+3(b?ξ)f(ξ)，則
f（ξ）在[a，b]連續，在（a，b）可導，且f(a)＝3(b?a)f(a)?3∫ba
f(x)dx
f(b)＝(b?a)f(b)?∫ba
f(x)dx
由定積分的幾何意義，很明顯可以看出：
f（a）＜0，f（b）＞0
∴由零點定理知，在（a，b）至少存在一點ξ，使得f（ξ）=0即：在（a，b）至少存在一點ξ，使得s1=3s2又∵f′（ξ）=（ξ-a）f'（ξ）+f（ξ）-f（ξ）+3f（ξ）-3f（ξ）+3（b-ξ）f'（ξ）=（3b-a-2ξ）f'（ξ）
而ξ∈（a，b）
∴3b-a-2ξ＞0
∴f′（ξ）＞0
∴f（ξ）在（a，b）單調遞增
∴f（ξ）在（a，b）只有唯一解
故：?唯一ξ∈（a，b），使得s1=3s2命題得證．
8樓：古赩馮三詩
期待看到有用的回答！
設函式f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)
9樓：
令g(x)=f(x)-x，由題意知g(x)連續g(a)=f(a)-a<0,g(b)=f(b)-b>0∴g(a)g(b)<0
∴根據零點定理可以知道存在ξ∈(a,b),使得g(ξ)=0,即 f(ξ)-ξ =0，得證。
零點定理：
設函式f(x)在[a,b]上連續，且f(a)f(b)<0,則存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=ξ
10樓：匿名使用者
證明：記f(x)=f(x)-x,顯然它在[a,b]上連續且f(a)=f(a)-a<0,f(b)=f(b)-b>0由連續函式介值定理知存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=f(ξ)-ξ=0
即存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=ξ，命題得證。
11樓：匿名使用者
高等數學，課本上好像有證明過程，以前證過，現在忘了！不好意思！
設f x 在上連續，證明abf x dx
設某一點函式值不是0.則由函式連續，存在區間內這個點的鄰域，鄰域內函式值不為零 就是大於0 拆區間為三部分，鄰域部分積分恆大於0，另兩個區間積分非負，所以得正 設f x 在 0.1 連續,證明 0 1 f x 2 dx 0 1 f x dx 2 50 解 設 0,1 f x dx m，那麼 f x ...
設fx在上具有連續導數,且f00證明
利用定積分的柯西 許瓦茨不等式 可得 f 1 小於等於右邊的定積分 不等式恆成立 則，f x 的最大值小於等於右邊的定積分過程如下 對任意的x，f 0 f x f x 0 x f 1 f x f x 1 x 兩式相加得 2f x 2x 1 f x 即f x x 1 2 f x 且0 x 1 l f ...
設函式fx在上連續，在0，3內可導，且f
因為f x 在 0，3 上連續，所以f x 在 0，2 上連續，且在 0，2 上必有最大值m和最小值m，於是 m f 0 m，m f 1 m，m f 2 m，故 m f 0 f 1 f 2 3 m，由介值定理知，至少存在一點c 0，2 使得 f c f 0 f 1 f 2 3 1，又由 f c 1 ...