為什麼證明極限的唯一性的時候,要取A

2021-03-04 06:08:14 字數 3626 閱讀 2140

1樓:匿名使用者

a、ε 具有任意

性,可以無止境的更改、修正。

b、由於 ε 具有任意性,由 ε 決定的 n 也就有了任意性:

一方面,將 n 任意地放大後,依然還是 n;

另一方面,將 ε 任意縮小後算出 n,就更符合要求。

用反證法證明極限的唯一性時,為什麼取ε=(b-a)/2

2樓:angela韓雪倩

具體原因如下:

證明如下:

假設存在a,b兩個數都是函式f(x)當x→x。的極限,且a據極限的柯西定義,有如下結論:

任意給定ε>0(要注意,這個ε是對a,b都成立)。

總存在乙個δ1>0,當0《丨x-x。丨<δ1時,使得丨f(x)-a丨<ε成立。

總存在乙個δ2>0,當0《丨x-x。丨<δ2時,使得丨f(x)-b丨<ε成立。

上面的不等式可以等價變換為a-ε令δ=min,當0《丨x-x。丨<δ時。①,②兩個不等式同時成立。

因為①,②兩個不等式同時成立,所以①式右端必定大於或等於②式左端。

即:b-ε≤a+ε,移項得:(b-a)/2≤ε,因為(b-a)/2是乙個確定大小的正數,所以這個結論與極限的定義:

ε可以任意小矛盾,所以假設不成立,因此不存在a,b兩個數都是f(x)的極限,除非a=b矛盾才不會出現。

倘若是x趨於無窮大時的唯一性證明可以參看高數書數列極限唯一性證明,證法完全一樣。

證畢。擴充套件資料:

反證法的邏輯原理是逆否命題和原命題的真假性相同。

實際的操作過程還用到了另乙個原理,即:

原命題和原命題的否定是對立的存在:原命題為真,則原命題的否定為假;原命題為假,則原命題的否定為真。

若原命題:

為真先對原命題的結論進行否定,即寫出原命題的否定:p且¬q。

從結論的反面出發,推出矛盾,即命題:p且¬q 為假(即存在矛盾)。

從而該命題的否定為真。

再利用原命題和逆否命題的真假性一致,即原命題:p⇒q為真。

誤區:否命題與命題的否定是兩個不同的概念。

命題的否定只針對原命題的結論進行否定。而否命題同時否定條件和結論:

原命題:p⇒q;

否命題:¬p⇒¬q;

逆否命題:¬q⇒¬p;

命題的否定:p且¬q。

原命題與否命題的真假性沒有必然聯絡,但原命題和原命題的否定卻是對立的存在,乙個為真另乙個必然為假。

已知某命題:若a,則b,則此命題有4種情況:

1.當a為真,b為真,則a⇒b為真,得¬b⇒¬a為真;

2.當a為真,b為假,則a⇒b為假,得¬b⇒¬a為假;

3.當a為假,b為真,則a⇒b為真,得¬b⇒¬a為真;

4.當a為假,b為假,則a⇒b為真,得¬b⇒¬a為真;

∴乙個命題與其逆否命題同真假。

即反證法是正確的。

假設¬b,推出¬a,就說明逆否命題是真的,那麼原命題也是真的。

但實際推證的過程中,推出¬a是相當困難的,所以就轉化為了推出與¬a相同效果的內容即可。這個相同效果就是與a(已知條件)矛盾,或是與已知定義、定理、大家都知道的事實等矛盾。

3樓:林清他爹

我告訴你怎麼來的

證明如下:

假設存在a,b兩個數都是函式f(x)當x→x。的極限,且a,根據極限的柯西定義,有如下結論:

任意給定ε>0(要注意,這個ε是對a,b都成立)。

總存在乙個δ1>0,當0《丨x-x。丨<δ1時,使得丨f(x)-a丨<ε成立。

總存在乙個δ2>0,當0《丨x-x。丨<δ2時,使得丨f(x)-b丨<ε成立。

上面的不等式可以等價變換為a-ε

令δ=min,當0《丨x-x。丨<δ時。①,②兩個不等式同時成立。

因為①,②兩個不等式同時成立,所以①式右端必定大於或等於②式左端。

即:b-ε≤a+ε,移項得:(b-a)/2≤ε,因為(b-a)/2是乙個確定大小的正數,所以這個結論與極限的定義:

ε可以任意小矛盾,所以假設不成立,因此不存在a,b兩個數都是f(x)的極限,除非a=b矛盾才不會出現。

倘若是x趨於無窮大時的唯一性證明可以參看高數書數列極限唯一性證明,證法完全一樣。證畢。

4樓:匿名使用者

這樣a與b的ε=(b-a)/2鄰域正好無交集,取得更小點也行,但最大只能取這個,否則兩個鄰域的交非空,證不出

為什麼證明極限的唯一性的時候,要取ε=(a-b)/2?原因是什麼?

5樓:匿名使用者

若 a≠b,則取ε=(a-b)/2 是為了最後得出乙個矛盾,從而否定 「a≠b」 的假設。

求證極限唯一性,為什麼取ε=(b-a)/2

6樓:pasirris白沙

1、樓上網友的回答,雖然是對的,但是說得太輕鬆了。

無論說得是多麼輕飄飄,還是多麼文縐縐,都給人霧煞煞的感覺。

從微積分教學開始,我們就陷入的這種境地:不得要領。

.2、假設樓主已經完全領略了極限證明背後的嚴密邏輯思維與論證方法,就知道 :

a、ε 具有任意性,可以無止境的更改、修正。

b、由於 ε 具有任意性,由 ε 決定的 n 也就有了任意性:

一方面,將 n 任意地放大後,依然還是 n;

另一方面,將 ε 任意縮小後算出 n,就更符合要求。

.3、下面的**就是將 ( b - a )/2 縮小到 ( b - a )/3, 一樣得到結論。

請參看:..

7樓:持筆桿的魔法師

這並不是說它不能取其他值了,它可以取任意大於零的數。但是,在證明極限唯一性的時候,我們為了方便計算,所以才取的這個值。

8樓:淺草丶若相念

因為用的是反證法,所以只要有乙個反例就行

9樓:風火淬鋼

它可以取任何數,取這個只是為了方便證明

證明收斂數列唯一性時,為什麼取ε=(b-a)/2

10樓:蹋花同惜

並不是一開始就假設ε 而是先假設(1)limxn=a 與(2)limxn=b同時成立(a小於b) 也就是有兩個極限

得到a+ε或=b-ε時即可

所以可取a+ε=b-ε 此時ε=1/2(b-a)ε>0 ε存在 所以(1)(2)不能同時成立 唯一性即證

11樓:一步一步沉澱

ε=(b-a)/3也行

證明收斂數列的極限唯一時,為什麼取ε=b-a/2或更小,若取ε大於b-a/2有何

12樓:

這樣a與b的ε=(b-a)/2鄰域正好無交集,取得更小點也行,但最大只能取這個,否則兩個鄰域的交非空,證不出

高數問題,關於極限的唯一性的證明。圖中為什麼讓ε=b-a/2。為什麼我就想不到取這個值呢?是根據什

13樓:離劫殤

因為這是最大取值,可以比它小但不能比它大,不然a,b的去心領域會相交不是空集,這樣不利於證明!

14樓:

和夾逼想法差不多吧。中值

為什麼證明極限的唯一性的時候,要取AB2?原因是什麼

若 a b,則取 a b 2 是為了最後得出乙個矛盾,從而否定 a b 的假設。用反證法證明極限的唯一性時,為什麼取 b a 2 具體原因如下 證明如下 假設存在a,b兩個數都是函式f x 當x x。的極限,且a據極限的柯西定義,有如下結論 任意給定 0 要注意,這個 是對a,b都成立 總存在乙個 ...

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1.x x0時討論taylor,意義是不大的。上述證明中x是乙個變數,taylor公式是乙個函式,而不是乙個定數,所以第乙個問題不是 乙個真正的問題 如果非要問f x 在x0處的taylor式,那就是f x0 嘛,當然是唯一的 2.第二問也 問得有問題 關鍵在於你對符號o 的理解,小o意指高階無窮小...