1樓：131181薄荷
||如果收斂
因也收斂
對任何e
都有n1,n2
使k>n1就有 |(ak+bk) - l |k>n2有 |(ak) - a |取k>n1,n2中較大者,有|bk-(l-a) |=|(ak+bk)-l+(ak-a)|< |(ak+bk) - l |+|(ak) - a |盾!
故發散.
把bn化入-bn可知發散.
得看的極限a:如果a=0則收歛,否則發散.
:如果->a=0或->無限大則收斂,否則發散.
定義：設數列，如果存在常數a，對於任意給定的正數q（無論多小），總存在正整數n，使得n>n時，恒有|xn-a|性質：
唯一性：如果數列xn收斂，每個收斂的數列只有乙個極限。
有界性：
定義：設有數列xn , 若存在m>0,使得一切自然數n,恒有|xn|定理1：如果數列收斂，那麼該數列必定有界。推論：無界數列必定發散；數列有界
，不一定收斂；數列發散不一定無界。數列有界是數列收斂的必要條件，但不是充分條件
保號性：
如果數列收斂於a，且a>0（或a<0），那麼存在正整數n，當n>n時，都有xn>0（或xn<0）。
怎麼判斷函式和數列是收斂或發散的
2樓：demon陌
1、設數列，如果存在常數a，對於任意給定的正數q（無論多小），總存在正整數n，使得n>n時，恒有|xn-a|2、求數列的極限，如果數列項數n趨於無窮時，數列的極限能一直趨近於實數a，那麼這個數列就是收斂的；如果找不到實數a，這個數列就是發散的。看n趨向無窮大時,xn是否趨向乙個常數,可是有時xn比較複雜,並不好觀察。這種是最常用的判別法是單調有界既收斂。
3、加減的時候,把高階的無窮小直接捨去如 1 + 1/n,用1來代替乘除的時候,用比較簡單的等價無窮小來代替原來複雜的無窮小來如 1/n * sin(1/n) 用1/n^2 來代替
4、收斂數列的極限是唯一的，且該數列一定有界，還有保號性，與子數列的關係一致。不符合以上任何乙個條件的數列是發散數列。另外還有達朗貝爾收斂準則,柯西收斂準則,根式判斂法等判斷收斂性。
擴充套件資料：
收斂級數對映到它的和的函式是線性的，從而根據哈恩-巴拿赫定理可以推出，這個函式能擴張成可和任意部分和有界的級數的可和法，這個事實一般並不怎麼有用，因為這樣的擴張許多都是互不相容的，並且也由於這種運算元的存在性證明訴諸於選擇公理或它的等價形式，例如佐恩引理，所以它們還都是非構造的。
發散級數這一分支，作為分析學的領域，本質上關心的是明確而且自然的技巧，例如阿貝爾可和法、切薩羅可和法、波萊爾可和法以及相關物件。維納陶伯型定理的出現標誌著這一分支步入了新的階段，它引出了傅利葉分析中巴拿赫代數與可和法間出乎意料的聯絡。
發散級數的求和作為數值技巧也與插值法和序列變換相關，這類技巧的例子有：帕德近似、levin類序列變換以及與量子力學中高階微擾論的重整化技巧相關的依序對映。
收斂數列
函式收斂
定義方式與數列收斂類似。柯西收斂準則：關於函式f(x)在點x0處的收斂定義。
對於任意實數b>0,存在c>0,對任意x1,x2滿足0<|x1-x0|收斂的定義方式很好的體現了數學分析的精神實質。
如果給定乙個定義在區間i上的函式列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 則由這函式列構成的表示式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......
+un（x）+......⑴稱為定義在區間i上的（函式項）無窮級數，簡稱（函式項）級數
對於每乙個確定的值x0∈i,函式項級數 ⑴ 成為常數項級數u1（x0）+u2（x0）+u3（x0）+......+un（x0）+.... （2） 這個級數可能收斂也可能發散。
如果級數（2）發散，就稱點x0是函式項級數（1）的發散點。
函式項級數（1）的收斂點的全體稱為他的收斂域 ，發散點的全體稱為他的發散域 對應於收斂域內任意乙個數x，函式項級數稱為一收斂的常數項 級數 ，因而有一確定的和s。
這樣，在收斂域上 ，函式項級數的和是x的函式s（x），通常稱s（x）為函式項級數的和函式，這函式的定義域就是級數的收斂域，並寫成s（x）=u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......把函式項級數 ⑴ 的前n項部分和 記作sn(x)，則在收斂域上有lim n→∞sn(x)=s(x)
記rn(x)=s(x)-sn(x),rn(x)叫作函式級數項的餘項 （當然，只有x在收斂域上rn（x）才有意義，並有lim n→∞rn (x)=0
3樓：wm未末
收斂函式：若函式在定義域的每一點都收斂,則通常稱函式是收斂的。函式在某點收斂,是指當自變數趨向這一點時，其函式值的極限就等於函式在該點的值。
有界函式指的是對於定義域中的任意乙個值,相應的函式值都在乙個區間內變化，也就是函式值的絕對值總小於某乙個固定值，那函式就是有界的。
收斂函式一定有界，但是有界函式不一定收斂，如f(x)在x=0處f(0)=2，在其他x處f(x)=1，那麼f(x)在x=0處就不是收斂的，那麼f(x)就不是收斂函式，但是f(x)是有界的,因為1≤f(x)≤2。
判斷數列是否收斂或者發散：
1、設數列，如果存在常數a，對於任意給定的正數q（無論多小），總存在正整數n，使得n>n時，恒有|xn-a|2、求數列的極限，如果數列項數n趨於無窮時，數列的極限能一直趨近於實數a，那麼這個數列就是收斂的；如果找不到實數a，這個數列就是發散的。看n趨向無窮大時,xn是否趨向乙個常數,可是有時xn比較複雜,並不好觀察。這種是最常用的判別法是單調有界既收斂。
3、加減的時候,把高階的無窮小直接捨去如 1 + 1/n,用1來代替乘除的時候,用比較簡單的等價無窮小來代替原來複雜的無窮小來如 1/n * sin(1/n) 用1/n^2 來代替
4、收斂數列的極限是唯一的，且該數列一定有界，還有保號性，與子數列的關係一致。不符合以上任何乙個條件的數列是發散數列。另外還有達朗貝爾收斂準則,柯西收斂準則,根式判斂法等判斷收斂性。
拓展資料：
函式極限是高等數學最基本的概念之一，導數等概念都是在函式極限的定義上完成的。
函式極限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→xo,，而運用ε-δ定義更多的見諸於已知極限值的函式極限證明題中。掌握這類證明對初學者深刻理解運用極限定義大有裨益。
以x→xo 的極限為例，f(x) 在點xo 以a為極限的定義是： 對於任意給定的正數ε（無論它多麼小），總存在正數δ ，使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時，對應的函式值f(x)都滿足不等式：
|f(x)-a|<ε ，那麼常數a就叫做函式f(x)當 x→x。時的極限。
問題的關鍵在於找到符合定義要求的 ，在這一過程中會用到一些不等式技巧，例如放縮法等。2023年的研究生考試試題中，更是直接考察了考生對定義的掌握情況。
4樓：關鍵他是我孫子
判斷函式是否收斂或者發散：
收斂函式：若函式在定義域的每一點都收斂,則通常稱函式是收斂的。函式在某點收斂,是指當自變數趨向這一點時，其函式值的極限就等於函式在該點的值。
有界函式指的是對於定義域中的任意乙個值,相應的函式值都在乙個區間內變化，也就是函式值的絕對值總小於某乙個固定值，那函式就是有界的。
收斂函式一定有界，但是有界函式不一定收斂，如f(x)在x=0處f(0)=2，在其他x處f(x)=1，那麼f(x)在x=0處就不是收斂的，那麼f(x)就不是收斂函式，但是f(x)是有界的,因為1≤f(x)≤2。
判斷數列是否收斂或者發散：
1、設數列，如果存在常數a，對於任意給定的正數q（無論多小），總存在正整數n，使得n>n時，恒有|xn-a|2、求數列的極限，如果數列項數n趨於無窮時，數列的極限能一直趨近於實數a，那麼這個數列就是收斂的；如果找不到實數a，這個數列就是發散的。看n趨向無窮大時,xn是否趨向乙個常數,可是有時xn比較複雜,並不好觀察。這種是最常用的判別法是單調有界既收斂。
3、加減的時候,把高階的無窮小直接捨去
如 1 + 1/n,用1來代替
乘除的時候,用比較簡單的等價無窮小來代替原來複雜的無窮小來
如 1/n * sin(1/n) 用1/n^2 來代替
4、收斂數列的極限是唯一的，且該數列一定有界，還有保號性，與子數列的關係一致。不符合以上任何乙個條件的數列是發散數列。另外還有達朗貝爾收斂準則,柯西收斂準則,根式判斂法等判斷收斂性。
拓展資料：
收斂數列具有的性質：
1、唯一性。如果數列xn收斂，每個收斂的數列只有乙個極限。
2、有界性。定義：設有數列xn , 若存在m>0,使得一切自然數n,恒有|xn|3、保號性。
如果數列收斂於a，且a>0（或a<0），那麼存在正整數n，當n>n時，都有xn>0（或xn<0）。
5樓：遺莂緈菔
看n趨向無窮大時，xn是否趨向乙個常數，即可以判斷收斂還是發散。
可是有時xn比較複雜，並不好觀察,加減的時候，把高階的無窮小直接捨去如 1 + 1/n，用1來代替乘除的時候，用比較簡單的等價無窮小來代替原來複雜的無窮小。
拓展資料：
收斂是乙個經濟學、數學名詞，是研究函式的乙個重要工具，是指會聚於一點，向某一值靠近。收斂型別有收斂數列、函式收斂、全域性收斂、區域性收斂。
在數學分析中，與收斂（convergence)相對的概念就是發散(divergence)。
函式的定義：給定乙個數集a，假設其中的元素為x。現對a中的元素x施加對應法則f，記作f（x），得到另一數集b。
假設b中的元素為y。則y與x之間的等量關係可以用y=f（x）表示。我們把這個關係式就叫函式關係式，簡稱函式。
函式概念含有三個要素：定義域a、值域c和對應法則f。其中核心是對應法則f，它是函式關係的本質特徵。
6樓：匿名使用者
1、判斷函式和數列是收斂或發散：看n趨向無窮大時,xn是否趨向乙個常數，可是有時xn比較複雜,並不好觀察，加減的時候,把高階的無窮小直接捨去。即如果數列項數n趨於無窮時，數列的極限==實數a，那麼這個數列就是收斂的；如果找不到實數a，那麼就是發散的。
2、收斂：乙個無窮數列收斂就是數列項數很大時，該項的值還是乙個有限值，它可被圈在乙個有限長的區間。
如 1 + 1/n,用1來代替，乘除的時候,用比較簡單的等價無窮小來代替原來複雜的無窮小來；如 1/n * sin(1/n) 用1/n^2 來代替。
函式極限是高等數學最基本的概念之一，導數等概念都是在函式極限的定義上完成的。
函式極限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→xo,，而運用ε-δ定義更多的見諸於已知極限值的函式極限證明題中。掌握這類證明對初學者深刻理解運用極限定義大有裨益。
以x→xo 的極限為例，f(x) 在點xo 以a為極限的定義是： 對於任意給定的正數ε（無論它多麼小），總存在正數δ ，使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時，對應的函式值f(x)都滿足不等式：
|f(x)-a|<ε ，那麼常數a就叫做函式f(x)當 x→x。時的極限。
問題的關鍵在於找到符合定義要求的 ，在這一過程中會用到一些不等式技巧，例如放縮法等。2023年的研究生考試試題中，更是直接考察了考生對定義的掌握情況。詳見附例1。
收斂數列乘發散數列是什麼數列乙個收斂數列乘乙個發散數列是什麼數列
可能收斂，也可能發散。乘積收斂的情況 an 0,0,0,0 這個數列收斂，極限是0bn 1,2,3,4 這個數列發散，無極限anbn 0,0,0,0 乘積收斂，極限是0收斂數列與數列發散 設數列，如果存在常數a，對於任意給定的正數q 無論多小 總存在正整數n，使得n n時，恒有 xn a p 數列收...
怎樣證明收斂數列的唯一性,如何證明收斂數列的極限是唯一的？
採用反證法。假設乙個數列收斂於兩個不同的實數a和b。然後按照 n定義把極限過程描述出來。最後歸謬。自己嘗試一下，需要詳細過程的話可以追問。如果收斂不唯一，數列就不收斂了。這個證明教材上有的,一般有兩種證法,一是反證法,一是同一法,僅證後一種 已知liman a,若還有 liman b.則對任意 0,...
這樣是如何證明收斂數列極限唯一的
證明如下 設limxn a,limxn b當n n1,xn a 當n n2,xn b 取n max,則當n n時有 a b xn b xn a 收斂數列定義 設有數列xn 若存在m 0,使得一切自然數n,恒有 xn 收斂數列的性質 1.如果數列收斂，那麼它的極限唯一 2.如果數列收斂，那麼數列一定有...