1樓：眼力差
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．
1． 命題「 r， 」的否定是 ▲ ．
2． 若集合a= ，b= 滿足a∪b=r，a∩b= ，則實數m= ▲ ．
3． 若 是純虛數，則實數a的值是 ▲ ．
4． 按如圖所示的程式框圖執行後，輸出的結果是63，
則判斷框中的整數m的值是 ▲ ．
5． 若函式 （a為常數）在定義域上為
奇函式，則k= ▲ ．
6． 若直線 和圓o： 沒有公共點，
則過點 的直線與橢圓 的交點個
數為 ▲ ．
7． 曲線c： 在x=0處的切線方程為 ▲ ．
8． 下面是某小組學生在一次數學測驗中的得分莖葉圖，則該組男生的平均得分與女生的平均得分之差是 ▲ ．
9． 已知集合 ，集合
，在集合a中任取乙個元素p，則p∈b的概率是 ▲ ．
10．設實數 滿足 則 的取值範圍是 ▲ ．
11．已知a，b為不共線的向量，設條件m： ；條件n：對一切 ，不等式 恆成立．則m是n的 ▲ 條件．
12．已知數列中，a1=1，a2=0，對任意正整數n，m(n>m)滿足 ，則a119= ▲ ．
13．已知正四面體（所有稜長都相等的三稜錐）的俯檢視如右圖所示，
其中四邊形 是邊長為2cm的正方形，則這個四面體的主視
圖的面積為 ▲ cm2．
14．約瑟夫規則：將1，2，3，…，n按逆時針方向依次放置在乙個單位圓上，然後從1開始，按逆時針方向，隔乙個刪除乙個數，直至剩餘乙個數而終止，依次刪除的數為1，3，5，7，…．當 時，剩餘的乙個數為 ▲ ．
【填空題答案】
1． r， ; 2．3; 3．1； 4．5； 5． ；
6．2； 7．y=2x+3； 8．1.5； 9． ； 10． ；
11．充要； 12．－1； 13． ； 14．2．
二、解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分14分）
△abc的外接圓半徑為1，角a，b，c的對邊分別為a，b，c．向量m = ,
n= 滿足m//n.
（1）求 的取值範圍；
（2）若實數x滿足abx=a+b，試確定x的取值範圍.
【解】(1)因為m//n， 所以 ， ………………2分
因為三角形abc的外接圓半徑為1, 由正弦定理，得 .
於是 .
因為 . 故三角形abc為直角三角形. …………5分
, 因為 ，
所以 , 故 . ……………7分
(2) . ……………9分
設 ，則 ， …………… 11分
，因為 ＜0，故 在（1， ]上單調遞減函式.
所以 .所以實數x的取值範圍是 . …………… 14分
16．（本小題滿分14分）
在四稜錐p－abcd中，四邊形abcd是梯形，ad‖bc，∠abc=90°，平面pab⊥平面abcd，平面pad⊥平面abcd.
（1）求證：pa⊥平面abcd；
（2）若平面pab 平面pcd ，問：直線l能否與平面abcd平行？
請說明理由.
（1）【證明】因為∠abc=90°，ad‖bc，所以ad⊥ab.
而平面pab⊥平面abcd，且平面pab 平面abcd=ab,
所以ad⊥平面pab, 所以ad⊥pa. ………………3分
同理可得ab⊥pa. ………………5分
由於ab、ad 平面abcd，且ab ad=c,
所以pa⊥平面abcd. ……………7分
（2）【解】（方法一）不平行. ………………9分
證明：假定直線l‖平面abcd,
由於l 平面pcd，且平面pcd 平面abcd=cd, 所以 ‖cd. ………… 11分
同理可得l‖ab, 所以ab‖cd. ……………… 13分
這與ab和cd是直角梯形abcd的兩腰相矛盾,
故假設錯誤，所以直線l與平面abcd不平行. ……………… 14分
（方法二）因為梯形abcd中ad‖bc,
所以直線ab與直線cd相交，設ab cd=t. ………………… 11分
由t cd，cd 平面pcd得t 平面pcd.
同理t 平面pab. ………………… 13分
即t為平面pcd與平面pab的公共點，於是pt為平面pcd與平面pab的交線.
所以直線 與平面abcd不平行. ………………… 14分
17．（本小題滿分15分）
設a為實數，已知函式 .
（1）當a=1時，求函式 的極值．
（2）若方程 =0有三個不等實數根，求a的取值範圍．
【解】(1)依題有 ，故 . ………2分
由x0 2
+ 0 － 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
………………………5分
得 在 時取得極大值 ， 在 時取得極小值 . …………7分
(2) 因為 ， ……………………9分
所以方程 的兩根為a－1和a+1，
顯然，函式 在x= a－1取得極大值，在x=a+1是取得極小值. ………… 11分
因為方程 =0有三個不等實根，
所以 即 解得 且 .
故a的取值範圍是 . ………………… 15分
18．（本小題滿分15分）
如圖，橢圓 (a>b>0)的左、右焦點分別為f1、f2，m、n是橢圓右準線上的兩個動點，
且 .（1）設c是以mn為直徑的圓，試判斷原點o與圓c的位置關係；
（2）設橢圓的離心率為 ，mn的最小值為 ，求橢圓方程.
【解】（1）設橢圓 的焦距為2c(c>0)，
則其右準線方程為x＝ ，且f1(－c, 0), f2(c, 0). ……………2分
設m ，
則 ＝. ………………………4分
因為 ，所以 ，即 .
於是 ，故∠mon為銳角.
所以原點o在圓c外. ………………………7分
（2）因為橢圓的離心率為 ，所以a=2c， …………………8分
於是m ，且 …………………9分
mn2＝(y1－y2)2＝y12+y22－2y1y2 . ………… 12分
當且僅當 y1＝－y2＝ 或y2＝－y1＝ 時取「=」號， ……………… 13分
所以(mn)min= 215c＝215，於是c=1, 從而a＝2，b＝3，
故所求的橢圓方程是 . ………………… 15分
19．（本小題滿分16分）
下述數陣稱為「森德拉姆篩」，記為s．其特點是每行每列都是等差數列，第i行第j列的數記為aij.
1 4 7 10 13 …
4 8 12 16 20 …
7 12 17 22 27 …
10 16 22 28 34 …
13 20 27 34 41 …
… … … …
（1）證明：存在常數 ，對任意正整數i、j， 總是合數；
（2）設 s中主對角線上的數1，8，17，28，41，…組成數列 . 試證不存在正整數k和m ，使得 成等比數列；
（3）對於（2）中的數列 ，是否存在正整數p和r ，使得 成等差數列．若存在，寫出 的一組解（不必寫出推理過程）；若不存在，請說明理由．
（1）【證明】因為第一行數組成的數列(j=1,2，…)是以1為首項，公差為3的等差數列，所以a1 j＝1+(j－1)×3＝3 j－2，
第二行數組成的數列(j＝1,2，…)是以4為首項，公差為4的等差數列，
所以a2 j＝4+(j－1)×4＝4 j． ……………………2分
所以a2 j－a1 j＝4 j－(3 j－2)＝j＋2，
所以第j列數組成的數列(i＝1,2，…)是以3 j－2為首項，公差為 j＋2的等差數列，
所以aij＝3 j－2＋(i－1) ×(j＋2) ＝ij＋2i＋2j－4＝(i＋3) (j＋2) 8． …………5分
故aij＋8=(i＋3) (j＋2)是合數．
所以當 ＝8時，對任意正整數i、j， 總是合數 …………………6分
（2）【證明】(反證法)假設存在k、m， ，使得 成等比數列，
即 ………………………7分
∵bn＝ann ＝(n+2)2－4
∴ 得 ，
即 ， …………………10分
又∵ ，且k、m∈n，∴k≥2、m≥3，
∴ ，這與 ∈z矛盾，所以不存在正整數k和m ，使得 成等比數列．……………………12分
（3）【解】假設存在滿足條件的 ，那麼
即 . …………………… 14分
不妨令 得
所以存在 使得 成等差數列． …………………… 16分
（注：第（3）問中陣列 不唯一，例如 也可以）
20．（本小題滿分16分）
如果對任意乙個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在函式f(x)的定義域內，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某個三角形的三邊長，則稱f(x)為「保三角形函式」.
（1）判斷下列函式是不是「保三角形函式」，並證明你的結論：
① f(x)＝ x； ② g(x)＝sinx (x∈(0，π)).
（2）若函式h(x)＝lnx (x∈〔m，＋∞))是保三角形函式，求m的最小值.
（1）【答】f(x)＝ x是保三角形函式，g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函式.
【證明】① f(x)＝ x是保三角形函式.
對任意乙個三角形的三邊長a，b，c，則a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
f(a)＝ a，f(b)＝ b，f(c)＝ c.
因為(a＋b)2＝a＋2ab＋b＞c＋2ab＞(c)2，所以a＋b＞c.
同理可以證明：b＋c＞a，c＋a＞b.
所以f(a)、f(b)、f(c)也是某個三角形的三邊長，故 f(x)＝ x是保三角形函式. ………………4分
②g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函式. 取 ，顯然這三個數能作為乙個
三角形的三條邊的長. 而sin ＝1，sin ＝12，不能作為乙個三角形的三邊長.
所以g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函式. ………………………8分
(2)【解】m的最小值為2. …………………… 10分
(i)首先證明當m≥2時，函式h(x)＝lnx (x∈〔m，＋∞))是保三角形函式.
對任意乙個三角形三邊長a，b，c∈〔m，＋∞)，且a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
則h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.
因為a≥2，b≥2，a＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc，
即lna＋lnb＞lnc. 同理可證明lnb＋lnc＞lna，lnc＋lna＞lnb.
所以lna，lnb，lnc是乙個三角形的三邊長.
故函式h(x)＝lnx (x∈〔m，＋∞)，m≥2)，是保三角形函式. …………………… 13分
(ii)其次證明當0 當0 因為0＜m＜2，所以m＋m＝2m＞m2，所以m，m，m2是某個三角形的三條邊長， 而lnm＋lnm＝2lnm＝lnm2，所以lnm，lnm，lnm2不能為某個三角形的三邊長， 所以h(x)＝lnx 不是保三角形函式. 所以，當m＜2時，h(x)＝lnx (x∈〔m，＋∞))不是保三角形函式. 綜上所述：m的最小值為2. ………………… 16分 附加題部分 21. （選做題）本大題包括a，b，c，d共4小題，請從這4題中選做2小題. 每小題10分，共20分．請在答題卡上準確填塗題目標記. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． a. 選修4－1：幾何證明選講 如圖，pa切⊙o於點 ，d為 的中點，過點d引 割線交⊙o於 、 兩點．求證: ． 【證明】因為 與圓相切於 ， 所以 ， ………………………2分 因為d為pa中點，所以dp=da， 所以dp2=db•dc，即 ． ………………………5分 因為 ， 所以 ∽ ， ………………………8分 所以 ． …………………… 10分 b. 選修4－2：矩陣與變換 已知在乙個二階矩陣m的變換作用下, 點 變成了點 ，點 變成了點 ，求矩陣m. 【解】設 ， ………………………2分 則由 ， ， ……………………5分 得 ………………………8分 所以 因此 . …………………… 10分 c. 選修4－4：座標系與引數方程 在極座標系中，已知圓c的圓心座標為c (2， )，半徑r= ，求圓c的極座標方程. 解法一：設p(ρ，θ)是圓上的任意一點，則pc= r= . …………………4分 由餘弦定理，得ρ2+22－2×2×ρcos(θ－ )=5. ………………8分 化簡，得ρ2－4ρcos(θ－ )＋1=0，此即為所求的圓c的方程. ………10分 解法二：將圓心c (2， )化成直角座標為(1， )，半徑r= ， ………………2分 故圓c的方程為(x－1)2＋(y－ )2=5. ………………4分 再將c化成極座標方程，得(ρcosθ－1)2+(ρcosθ－ )2=5. ……6分 化簡，得ρ2－4ρcos(θ－ )＋1=0 ，此即為所求的圓c的方程. …………10分 d. 選修4－5：不等式選講 已知 ，求證： . 【證明】因為 ………………3分 ………………………7分 所以 . 故 . ……… 10分 22. 必做題, 本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 投擲a，b，c三個紀念幣，正面向上的概率如下表所示 . 紀念幣 a b c 概 率 a a將這三個紀念幣同時投擲一次, 設 表示出現正面向上的個數. （1）求 的分布列及數學期望； （2）在概率 (i=0，1，2，3)中, 若 的值最大, 求a的取值範圍. 【解】(1) 是 個正面向上, 個背面向上的概率.其中 的可能取值為0，1，2，3. ,,, . ……4分 所以 的分布列為 的數學期望為 . …………5分 (2) ,,. 由 和 ，得 ,即a的取值範圍是 . …………… 10分 23．必做題, 本小題10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 已知 ．用數學歸納法證明： . 【證明】（1）當n=2時，左邊－右邊＝ ，不等式成立. ………………………2分 （2）假設當n=k（ ）時，不等式成立，即 . ……4分 因為 ，所以 ，於是 . ……………6分 當n=k+1時， .即當n=k+1時，不等式也成立. ………9分 綜合（1），（2）知，對於 ，不等式 總成立. …………………… 10分 不好意思，只能複製來這些。 ( # ▽ # ) 這麼辛苦，麻煩給點兒分，好嗎？ 舉手之勞 j sh u zh l o 指辦事情輕而易舉，毫不費力。舉 抬起。一動手就能辦到的小事。唐 韓愈 應科目時與人書 如有力者，哀其窮而運轉之，蓋一舉手一投足之勞也。譯文 如果碰到有力量的人，可憐它們的窘境而把它們運輸轉移 到有水的地方 只不過是舉手之勞。擴充套件資料 近義詞1 易如反掌是乙個... 兄 有大志去從戎 弟 歌一曲為壯行 當 心夜半北風寒 兵 哥一路多保重 全 心全意為人民 家 國安寧在心中 光 輝歲月酬壯志 榮 歸之時立大功 原創藏頭 兄弟當兵，全家光榮 送兄弟踏上保家衛國的錦繡征程。好男兒志在四方 加油 男子平生覓封侯，兒孫豈能求溫柔。豪氣干雲飛鵬翼，情漫錢塘舞潮頭。霜風雁叫鐵... 曾經在工作的時候，我想請同事幫我把他手邊的杯子遞過來，大概也就幾秒鐘能解決的事情，但是他拒絕了，我也沒說什麼，因為對於這種事我也有自己的感觸。任何一個小小的舉動都是需要耗費精力的，雖然很微不足道。請求別人幫助某種程度上就是打斷了別人正在處於的狀態 比如別人工作中啦，休息中啦 心理上是會有牴觸的，直接...「舉手之勞」是什麼意思，舉手之勞什麼意思？
兄弟去當兵求祝福語！舉手之勞謝謝
為什麼明明是舉手之勞別人卻不願意幫忙