1樓：匿名使用者
只證明單增的情況
已知xn0，設極限為a。
求證：a<=m
證明：假設a>m
a-m<|xn-a|
由於ε是任意給定，所以我們給定ε=a。
單減同理
最後aa時極限也存在，所以極限不一定就是邊界。
為什麼單調有界函式未必有極限而單調有界數列必有極限
2樓：老伍
「單調有界數列必有極限」是微積分學的基本定理之一。數列的極限比較簡單，都是指當n→∞（實際上是n→+∞）時的極限，所以我們只要說求某某數列的極限（不必說n是怎麼變化的），大家都明白的。
函式的極限就比較複雜，如果只說求某某函式的極限，別人是不明白的，還必須要指明自變數（例如x）是如何變化的。
考慮自變數的變化趨勢，有x→x0（x0是某個實數，這有多少種？）與x→∞；細分的話，還有x從左邊趨向於x0、從右邊趨向於x0、趨向於正無窮大、趨向於負無窮大。
還不要忘記，我們研究函式的極限是有前提條件的：
研究x→x0時的極限，要求函式在x0某個去心鄰域內有定義；研究x→∞時的極限，要求存在正數x，當|x|>x時函式有定義。
只有在滿足前提條件下，才可以談這個函式此時的極限存在與不存在。
你只給出函式單調有界，既不知道函式的定義域是怎樣的，又不知道自變數如何變化，這樣情形下談函式的極限根本就沒有絲毫的意義。
3樓：匿名使用者
函式有連續性問題，數列沒有（數列必然不連續），所以函式的可以求定義域中任意一點的極限。但是數列就只能求無窮大時的極限了。
例如f（x）=arctnx（x≤0），arctnx+1（x＞0），這個分段函式是有界函式，在x∈r上都有當x0＞x1時，有f（x0）＞f（x1）。所以是x∈r上的單調增函式。但是此函式在x=0處無極限（左極限不等於右極限）
但是對數列是無法求n=1、2……這些值時的極限，只能求n→∞時的極限。
4樓：有白危成益
同濟課本上對這個定理的說明是:
對於這個定理我們不做證明,只是給出它的在數軸上的幾何意義,你可以參看一下.若要考試這個問題不會考定理證明的,而是要你先用證明某個數列的單調性,然後再證明這個數列的有界性,從而得出這個數列必是收斂的,也就是有極限存在,
然後在數列滿足的已知等式兩邊取極限假設為a,然後求方程解出a,這個a就是數列的極限值.
簡單的說,就是跟根據這個準則然後尋找兩個條件從而說明極限的存在,然後算出極限值.
為什麼單調有界函式未必有極限，而單調有界數列必有極限？
5樓：老伍
「單調有界數列必有極限」是微積分學的基本定理之一。數列的極限比較簡單，都是指當n→∞（實際上是n→+∞）時的極限，所以我們只要說求某某數列的極限（不必說n是怎麼變化的），大家都明白的。
函式的極限就比較複雜，如果只說求某某函式的極限，別人是不明白的，還必須要指明自變數（例如x）是如何變化的。
考慮自變數的變化趨勢，有x→x0（x0是某個實數，這有多少種？）與x→∞；細分的話，還有x從左邊趨向於x0、從右邊趨向於x0、趨向於正無窮大、趨向於負無窮大。
還不要忘記，我們研究函式的極限是有前提條件的：
研究x→x0時的極限，要求函式在x0某個去心鄰域內有定義；研究x→∞時的極限，要求存在正數x，當|x|>x時函式有定義。
只有在滿足前提條件下，才可以談這個函式此時的極限存在與不存在。
你只給出函式單調有界，既不知道函式的定義域是怎樣的，又不知道自變數如何變化，這樣情形下談函式的極限根本就沒有絲毫的意義。
6樓：故人知
舉個簡單例子，分段函式x+1和x-1
怎麼證明單調有界數列必有極限？
7樓：
因為函式有界，所以函式的值域有界
所以函式值域必定有「最小上界」 (supreme), s因為是單調函式,所以對應任意小的e>0, 必定存在n>0使得對於任意x>n, 都有 | f(x) - s | < e
滿足極限的定義.
親~回答完畢~
希望對你有幫助
~\(^o^)/~祝學習進步~~~
8樓：手機使用者
同濟課本上對這個定理的說明是: 對於這個定理我們不做證明,只是給出它的在數軸上的幾何意義,你可以參看一下. 若要考試這個問題不會考定理證明的,而是要你先用證明某個數列的單調性,然後再證明這個數列的有界性,從而得出這個數列必是收斂的,也就是有極限存在, 然後在數列滿足的已知等式兩邊取極限假設為a,然後求方程解出a,這個a就是數列的極限值.
簡單的說,就是跟根據這個準則然後尋找兩個條件從而說明極限的存在,然後算出極限值.
9樓：至尊道無
下面介紹單增，單減同理
利用單調有界數列必有極限存在準則,證明數列極限存在並求出
數列關係式bai a n 1 2 an 數學du歸納法 假設遞增zhi數列dao即a n 1 回ana1 答2 n 2 a2 2 2 a2 a1n ka k 1 ak n k 1 a k 2 2 a k 1 a k 1 2 ak 所以是遞增數列 a n 1 2 an an 2 an an 1 an ...
單調有界數列必有極限。但是有幾個
單調有界定理 若數列遞增 遞減 有上界 下界 則數列收斂，即單調有界數列必有極限。數列是以正整數集 或它的有限子集 為定義域的函式，是一列有序的數。數列有序，所以收斂時只能存在乙個極限。單調有界數列一定有極限。正確還是錯誤 正確，以下是證明 設單調有界 不妨設單增 那麼存在m x n 任意n 所以有...
有界數列就是有極限的數列嗎 為什麼
不一定，極限是n 無窮大時，an的具體的值，比喻如乙個數列an 1 n 1 它的值是 內a1 0,a2 2,a3 0,a4 2.它的所有值都在0與2之間，容是有界的數列，但是n 無窮大時，an要麼為0要麼為2，沒有具體的值，因此也沒有極限。不是。有bai 界和有極限du是2個概念，有界的數列是zhi...