1樓：華眼視天下
解：公式：
1²+2²+3²+....+n²
=1/6 n(n+1)(2n+1)
所以取n=100，得
原式=1/6 ×100×（100+1）×（2×100+1）=338350
2樓：匿名使用者
利用立方差公式
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
另外乙個很好玩的做法
想像乙個有圓圈構成的正三角形，
第一行1個圈，圈內的數字為1
第二行2個圈，圈內的數字都為2，
以此類推
第n行n個圈，圈內的數字都為n，
我們要求的平方和，就轉化為了求這個三角形所有圈內數字的和。設這個數為r
下面將這個三角形順時針旋轉60度，得到第二個三角形
再將第二個三角形順時針旋轉60度，得到第三個三角形
然後，將這三個三角形對應的圓圈內的數字相加，
我們神奇的發現所有圈內的數字都變成了2n+1
而總共有幾個圈呢，這是乙個簡單的等差數列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
於是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
從1的平方一直加到100的平方是多少
3樓：匿名使用者
1^2=1*2-1
2^2=2*3-2
.....
.....
n^2=n(n+1)-n
由於n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前後消項]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+......+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
或者數學歸納法..或者
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
(1^2+2^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6
當n=100時(1^2+2^2+...+100^2)=100(100+1)(2*100+1)/6
=100*101*201/6
=50*101*67
=338350
4樓：樂卓手機
1＾2＋2＾2＋．．．．＋100^2=
338350
1＾2＋2＾2＋．．．．＋n^2=
1/6 n (1 + n) (1 + 2 n)
1的平方加2的平方加上3的平方一直加到n的平方等於多少
5樓：答望亭所丙
求證的方法有很多，我以前是通過組合數的規律來思考的（2n+1）（n+1）n/6
我們可以通過組合數的一共公式來考慮：（n,k）+(n,k+1)=(n+1,k+1),這裡用到的是k=2的情況，即（n,2）+(n,3)=(n+1,3)算一下就知道這公式是否正確了。
下面可以計算了。n^2=2(n+1,2)-n,所以1^2+2^2+3^2+…+n^2求和可以分為兩部分，
簡單的"n"求和就是1+2+……+n=(n+1)n/2
"2(n+1,2)"求和的話，我們先思考「（n+1，2）」的求和，即為（2，2）+（3，2）+（4，2）+……+（n+1,2）,這時利用公式（n,2）+(n,3)=(n+1,3)，令n=3,有（3,2）+(3,3)=(4,3),因為（2,2）=(3,3),所以，（2，2）+（3，2）=（3，3）+（3，2）=（4，3），繼續加，（4，3）+（4，2）=（5，3），（5，3）+（5，2）=（6，3）……可以一直加下去，最後得到（n+2,3）,所以「（n+1，2）」的求和答案就是（n+2,3）=(n+2)(n+1)n/6,乘以前面的2，就是(n+2)(n+1)n/3，再減去(n+1)n/2，就等於（2n+1）（n+1）n/6
1的平方加2的平方加3的平方一直加到n的平方，和為多少
6樓：**的白兔
12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中數學中是用數學歸納法證明的乙個命題，沒有給出其直接的推導過程。其實，該求和公式的直接推導並不複雜，也沒有超出初中數學內容。
設：s=12+22+32+…+n2
另設：s1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步設題是解題的關鍵，一般人不會這麼去設想。有了此步設題，第一：
s1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=s，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以為(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即
s1=2s+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)
第二：s1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以寫為：
s1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：
22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4s……………………………………..(2)
12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2
= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2
=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n
=4s-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)
由(2)+ (3)得：s1=8s-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)
由(1)與(4)得：2s+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8s-4(1+2+3+…+n)+n
即：6s= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n
= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]
= n(2n2+3n+1)
= n(n+1)(2n+1)
s= n(n+1)(2n+1)/ 6
亦即：s=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)
以上可得各自然數平方和公式為n(n+1)(2n+1)/6，其中n為最後一位自然數。
由(5)代入(2)得自然數偶數平方和公式為2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n為最後一位自然數。
由(5)代入(3)得自然數奇數平方和公式為n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1為最後一位自然數。
7樓：愛在煙火季
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
a的平方加b的平方的和乘c的平方加d的平方的和等於
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