1樓：笨菁菁
極限 在高等數學中，極限是一個重要的概念。
極限可分為數列極限和函式極限，分別定義如下。
首先介紹劉徽的"割圓術",設有一半徑為1的圓，在只知道直邊形的面積計算方法的情況下，要計算其面積。為此，他先作圓的內接正六邊形，其面積記為a1，再作內接正十二邊形，其面積記為a2，內接二十四邊形的面積記為a3，如此將邊數加倍，當n無限增大時，an無限接近於圓面積，他計算到3072=6*2的9次方邊形，利用不等式an+1x0)無限趨近於點x0時，函式f(x)無限趨近於常數a,就說a是函式f(x)在點x0處的右極限，記作x→x0+limf(x)=a.
函式極限的性質：
極限的運演算法則（或稱有關公式）：
lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)
lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)
lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)
lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等於0 )
lim(f(x))^n=(limf(x))^n
以上limf(x) limg(x)都存在時才成立
lim(1+1/x)^x =e
x→∞lim(1+1/x)^x =e
x→0無窮大與無窮小：
兩個重要極限：
1、lim sin(x)／x ＝1 ，x→0
2、lim （1 + 1／x）^x ＝e ，x→0 （e≈2.7182818...，無理數）
舉兩個例子說明一下
一、0.999999……＝1？
誰都知道1/3＝0.333333……，而兩邊同時乘以3就得到1＝0.999999……，可就是看著彆扭，因為左邊是一個“有限”的數，右邊是“無限”的數。
二、“無理數”算是什麼數？
我們知道，形如根號2這樣的數是不可能表示為兩個整數比值的樣子的，它的每一位都只有在不停計算之後才能確定，且無窮無盡，這種沒完沒了的數，大大違揹人們的思維習慣。
結合上面的一些困難，人們迫切需要一種思想方法，來界定和研究這種“沒完沒了”的數，這就產生了數列極限的思想。
類似的根源還在物理中（實際上，從科學發展的歷程來看，哲學才是真正的發展動力，但物理起到了無比推動作用），比如瞬時速度的問題。我們知道速度可以用位移差與時間差的比值表示，若時間差趨於零，則此比值就是某時刻的瞬時速度，這就產生了一個問題：趨於無限小的時間差與位移差求比值，就是0÷0，這有意義嗎（這個意義是指“分析”意義，因為幾何意義頗為直觀，就是該點切線斜率）？
這也迫使人們去為此開發出合乎理性的解釋，極限的思想呼之欲出。
真正現代意義上的極限定義，一般認為是由魏爾斯特拉斯給出的，他當時是一位中學數學教師，這對我們今天中學教師界而言，不能不說是意味深長的。
幾個常用數列的極限
an=c 常數列 極限為c
an=1/n 極限為0
an=x^n 絕對值x小於1 極限為0
2樓：wo現在是閒人
好像是個要抄資料做**的
去圖書館查書吧。大量的。
拿2分就走
極限的定義是怎麼來的
3樓：匿名使用者
由來：與一切科學的思想方法一樣，極限思想也是社會實踐的大腦抽象思維的產物。極限的思想可以追溯到古代，例如，祖國劉徽的割圓術就是建立在直觀圖形研究的基礎上的一種原始的可靠的“不斷靠近”的極限思想的應用；
古希臘人的窮竭法也蘊含了極限思想，但由於希臘人“對’無限‘的恐懼”，他們避免明顯地人為“取極限”，而是藉助於間接證法——歸謬法來完成了有關的證明。
到了16世紀，荷蘭數學家斯泰文在考察三角形重心的過程中，改進了古希臘人的窮竭法，他藉助幾何直觀，大膽地運用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中“指出了把極限方法發展成為一個實用概念的方向”。
擴充套件資料
極限思想的進一步發展是與微積分的建立緊密相聯絡的。16世紀的歐洲處於資本主義萌芽時期，生產力得到極大的發展，生產和技術中遇到大量的問題。
開始人們只用初等數學的方法已無法解決，要求數學突破’只研究常量‘的傳統範圍，而尋找能夠提供能描述和研究運動、變化過程的新工具，是促進’極限‘思維發展、建立微積分的社會背景。
起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎建立了微積分，後來因遇到邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。
4樓：翱翔四方
因為cosh小於等於1，那麼1-cosh永遠不會出現在0的左側，也就是0的左導數，不確定，謝謝，不懂的話可以繼續問我。
5樓：小堅果
極限的產生與發展
（1）由來
與一切科學的思想方法一樣，極限思想也是社會實踐的大腦抽象思維的產物。極限的思想可以追溯到古代，例如，祖國劉徽的割圓術就是建立在直觀圖形研究的基礎上的一種原始的可靠的“不斷靠近”的極限思想的應用；古希臘人的窮竭法也蘊含了極限思想，但由於希臘人“對’無限‘的恐懼”，他們避免明顯地人為“取極限”，而是藉助於間接證法——歸謬法來完成了有關的證明。
到了16世紀，荷蘭數學家斯泰文在考察三角形重心的過程中，改進了古希臘人的窮竭法，他藉助幾何直觀，大膽地運用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中“指出了把極限方法發展成為一個實用概念的方向”。
（2）發展
極限思想的進一步發展是與微積分的建立緊密相聯絡的。16世紀的歐洲處於資本主義萌芽時期，生產力得到極大的發展，生產和技術中遇到大量的問題，開始人們只用初等數學的方法已無法解決，要求數學突破’只研究常量‘的傳統範圍，而尋找能夠提供能描述和研究運動、變化過程的新工具，是促進’極限‘思維發展、建立微積分的社會背景。
起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎建立了微積分，後來因遇到邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。牛頓用’路程的改變數δs‘與’時間的改變數δt‘之比 “
” 表示運動物體的平均速度，讓δt無限趨近於零，得到物體的瞬時速度，並由此引出導數概念和微分學理論。他意識到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎，他說：“兩個量和量之比，如果在有限時間內不斷趨於相等，且在這一時間終止前互相靠近，使得其差小於任意給定的差，則最終就成為相等”。
但牛頓的極限觀念也是建立在幾何直觀上的，因而他無法得出極限的嚴格表述。牛頓所運用的極限概念，只是接近於下列直觀性的語言描述：“如果當n無限增大時，
無限地接近於常數a，那麼就說
以a為極限。
正因為當時缺乏嚴格的極限定義，微積分理論才受到人們對於科學理論的懷疑與攻擊，例如，在物理學的’瞬時速度‘概念，究竟δt（變化量）是否等於零？如果說是零，（因為真理如果被無限擴大其適用範圍也會變為錯誤）：怎麼能用它去作除法呢？
（其實變化量不可能為0）。但是人們認為，如果它不是零，計算機和函式變形時又怎麼能把包含著它的那些“微小的量”項去掉呢?當時人們不理解，想完全沒有一點點誤差地進行變數的計算而導致打擊認為發生悖論，這就是數學史上所說的無窮小悖論產生的原因。
英國哲學家、大主教貝克萊對微積分的攻擊最為激烈，他說微積分的推導是“分明的詭辯”。科學發展的歷史和成功表明他的觀點是錯的。
貝克萊之所以激烈地攻擊微積分，一方面是為宗教服務，另一方面也由於當時的微積分缺乏牢固的理論基礎，和變通的解決辦法，連名人牛頓也無法擺脫‘極限概念’中的混亂。這個事實表明，弄清“極限”概念，它是一個動態的量的無限變化過程，微小的變數趨勢方向上當然可以極為精密地近似等於某一個常量。這是建立嚴格的微積分理論的思想基礎，有著認識論上的科學研究的工具的重大意義。
（3）完善
極限思想的完善，與微積分的嚴格化的密切聯絡。在很長一段時間裡，微積分理論基礎的問題，許多人都曾嘗試“徹底滿意”地解決，但都未能如願以償。這是因為數學的研究物件已從常量擴充套件到變數，而人們習慣於用不變化的常量去思維，分析問題。
對“變數”特有的概念理解還不十分清楚；對“變數數學”和“常量數學”的區別和聯絡還缺乏瞭解；對“有限”和“無限”的對立統一關係還不明確。這樣，人們使用習慣的處理常量數學的傳統思想方法，思想僵化，就不能適應‘變數數學’的新發展。古代的人們習慣用舊概念常量就說明不了這種 [“零”與“無限靠近零的非零數值”之間可以人為的微小距離跳躍到相等的相互轉化]的科學性結論的辯證關係。
到了18世紀，羅賓斯、達朗貝爾與羅依裡埃等人先後明確地表示必須將極限作為微積分的基礎概念，並且都對極限作出過，各自的定義。其中達朗貝爾的定義是：“一個量是另一個量的極限，假如第二個量比任意給定的值更為接近第一個量”，其描述的內涵接近於‘極限的正確定義；然而，這些人的定義都無法擺脫對幾何直觀的依賴。
觀點也只能如此，因為19世紀以前的算術和幾何概念，大部分都是建立在幾何量的概念上的。其實，“具象化”不是思維落後的代名詞，對於幾何直觀的研究不是思維落後的代名詞，因為在今天仍然是可以用函式’對映‘為圖形，來研究較為複雜的趨勢問題。如果有趨勢則極限概念能夠成立。
例如“具象化”圖形代替函式可綁架直觀地證明某一個沒有規律可描述的向使用者久攻不下的命題不能成立；（或另外一個函式卻能夠成立）， 再分別作具體的“符號方式”的數學證明。
首先用極限概念給出‘導數’的正確定義的是捷克數學家波爾查諾，他把函式f(x)的導數定義為差商
的極限f'(x)，他強調指出f'(x)不是兩個零的商。波爾查諾的思想是有價值的，但關於‘極限的本質’他仍未描述清楚。
到了19世紀，法國數學家柯西在前人工作的基礎上，比較完整地闡述了“極限概念”及其理論，他在《分析教程》中指出：“當一個變數逐次所取的值無限趨於一個定值，最終使變數的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當一個變數的數值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變數成為無窮小。”
柯西把無窮小視為“以0為極限的變數”，這就正確地確立了“無窮小”概念為“似零不是零去卻可以人為用等於0處理”的辦法，這就是說，在變數的變化過程中，它的值實際上不等於零，但它變化的趨向是向“零”，可以無限地接近於零。那麼人們就可以用“等於0”來處理，是不會產生錯誤結果的。
柯西試圖消除極限概念中的幾何直觀，（但是“幾何直觀”不是消極的東西，我們研究函式時也可以可以發揮想像力——“動態趨勢的變數影象，假設被放大到巨大的天文倍數以後，我們也會永遠不能看到變數值‘重合於0”，所以用不等式表示會更加“明確”）作出極限的明確定義，然後去完成牛頓的願望。但柯西的敘述中還存在描述性的詞語，如“無限趨近”、“要多小就多小”比較通俗易懂的描述，對於概念的理解比較容易，因此其定義還保留著幾何和物理的直觀痕跡，一分為二，直觀痕跡比較多也會有好處，但是結合下面的抽象定義可更加容易理解‘極限’的概念。
為了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態的抽象定義，給微積分提供了嚴格的理論基礎。所謂
，就是指：“如果對任何
，總存在自然數n，使得當
時，不等式
恆成立”。
這個定義，藉助不等式，通過ε和n之間的關係，定量地、具體地刻劃了兩個“無限過程”之間的聯絡。因此，這樣的定義應該是目前比較嚴格的定義，可作為科學論證的基礎，至今仍在數學分析書籍中使用。在該定義中，涉及到的僅僅是‘數及其大小關係’，此外只是用給定、存在、任何等詞語，已經擺脫了“趨近”一詞，不再求助於運動的直觀。
（但是理解’極限‘概念不能夠拋棄‘運動趨勢’去理解， 否則容易導致’把常量概念不科學地進入到微積分’領域裡）
常量可理解為‘不變化的量’。微積分問世以前，人們習慣於用靜態影象研究數學物件，自從解析幾何和微積分問世以後，考慮‘變化量’的運動思維方式進入了數學領域，人們就有數學工具對物理量等等事物變化過程進行動態研究。之後，維爾斯特拉斯，建立的ε－n語言，則用靜態的定義描述變數的變化趨勢。
這種“靜態——動態——靜態”的螺旋式的上升演變，反映了數學發展的辯證規律。
函式極限是什麼概念，如何理解函式極限的定義？
極限知識深入研究 2 例2 用定義證明 規範證法 設 對於任意給定的 0，要使 只要 就可以了 因此，對於任意給定的 0，取 則當 x m時，有時，我們還需要區分x趨於無窮大的符號 如果x從某一時刻起，往後總是取正值而且無限增大 則稱x趨於正無窮大，記作x 此時定義中，x m可改寫為x m，如果x從...
高數函式極限的概念問題,高數極限定義問題
對於任意給定的正數 存在正數 當x0 x x0時，恒有 f x a 高數極限定義問題 這涉及對函式極限概念的理解。用 語言表述的函式極限定義為 如果對任意的 0,存在 0,當0 x x0 時，總有 f x a 則f x a 當x x0 注意這裡的 存在即可，其取值無其它約束，只要滿足當0 x x0 ...
極限定義的理解,極限定義的理解
從某一項開始,其後所有項距離a小於正數e 比如數列0.5 n,其極限為0,任意給定正數0.5 m,當n m時,總有第n項小於正數0.5 m 你就想成這個數列的第無窮項的值,如果這個值存在,那麼就說極限存在 高數數列極限定義怎麼理解 極限 是數學中的分支 微積分的基礎概念,廣義的 極限 是指 無限靠近...