1樓:匿名使用者
這是向量內積的非負性.
即對任意n維列向量a, 總是有 (a,a) >= 0.
等號成立的充分必要條件是 a=0.
x^專tx = (x,x) 是x的對應分量乘積之和即若屬 x = (a1,...,an)^t, 則 x^tx = a1^2+...+an^2 >=0
ax 也是乙個列向量, 也滿足 (ax)'(ax) >=0
設a為m×n實矩陣,e為n階單位矩陣.已知矩陣b=λe+ata,試證:當λ>0時,矩陣b為正定矩陣
2樓:幽靈軍團小吏
因為 bt=(λe+ata)t=λe+ata=b,所以b為n階實對稱矩陣.
對於任意的實n維列向量x,有:
xtbx=xt(λe+ata)x=λxtx+xtatax=λxtx+(ax)t(ax).
當x≠0時,有 λxtx>0,(ax)t(ax)≥0,從而,xtbx=λxtx+(ax)t(ax)>0,故b為正定矩陣.
設a是n×m矩陣,b是m×n矩陣其中n
3樓:匿名使用者
根據乙個定理r(ab)≤r(b)可得:n=r(e)=r(ab)≤r(b)≤n(秩不超過列數),所以r(b)=n,即b的列向量線性無關。
4樓:匿名使用者
證明bai
:設b1,b2,...,bn為b的列向量du
組,zhi
假設存在daok1,k2,...內,kn,使
得k1b1+k2b2+...+knbn=0,
則:a(k1b1+k2b2+...+knbn)=0,即:k1ab1+k2ab2+...+knabn=0.1因為容ab=i,
所以:abj=ej,(j=1,...,n)
代入1可得,k1e1+k2e2+...+knen=0.因為 e1,e2,...,en線性無關,
所以:k1=k2=...=kn=0,
從而,b1,b2,...,bn線性無關的.
由 m × n 個數aij排成的m行n列的數表稱為m行n列的矩陣,簡稱m × n矩陣。
這m×n 個數稱為矩陣a的元素,簡稱為元,數aij位於矩陣a的第i行第j列,稱為矩陣a的(i,j)元,以數 aij為(i,j)元的矩陣可記為(aij)或(aij)m × n,m×n矩陣a也記作amn。
元素是實數的矩陣稱為實矩陣,元素是複數的矩陣稱為復矩陣。而行數與列數都等於n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣。
a為n階實矩陣,a≠0,|a|=0,則矩陣b=ata是() a 正定矩陣 b 半正定矩陣 c 負定矩陣 d 不定
5樓:匿名使用者
x^t(a^ta)x = (ax)^t(ax)>=0
因為 |a|=0, 所以 ax=0 有非零解x
所以 b 半正定.
設A是n階正定矩陣，Ab是n階實對稱矩陣，證明AB正定的充要
a正定，則存在可逆陣c，使得a c tc。於是有公式 ab c tcb c t cbc 1 c。充分性 若b的特徵值都大於0，則cbc 1 的特徵值與b的特徵值一樣都大於0，於是ab合同於cbc 1 特徵值都大於0，ab正定。反之，ab正定，則由於ab與cbc 1 合同，故cbc 1 是正定陣，其特...
設A是n階矩陣,且det A a 0 證明A可以通過第三種初等變換化為對角矩陣diag 1，11，a）
分三步來證 1 第一類初等變換 即交換兩行或兩列 差不多 可以用第三類初等變換來實現.注意第一類初等變換的行列式是 1,而第三類初等變換的行列式是1,不可能完全實現第一類初等變換,所以效果上稍微會差一些.用第三類初等變換可以實現 x,y y,x 的變換,具體如下 x,y x,x y y,x y y,...
大學題目線性代數設A是n階實對稱矩陣且滿足A2 A,又設A的秩為r請證明A的特徵值為1或
證明 設r是a的特徵值，x是r對應的特徵向量，則 x不等於零向量 ax rx aax a rx r 2x ax rx r 2 r x 0 x不等於零向量,故 r 2 r 0所以 r 0 或 1 樓上的做法不錯，我再提供另外一種做法。實對稱矩陣正交相似 你說正交合同也行 於對角型。於是存在正交矩陣t以...