證明整係數多項式fx在有理數域上不可約當且僅當fx

1樓：

f(x)=p(x)q(x) => f(x+a)=p(x+a)q(x+a)

f(x+a)=u(x)v(x) => f(x)=u(x-a)v(x-a)

f(x),g(x)是有理數域上的多項式，且f(x)在有理數域上不可約,

2樓：匿名使用者

如果f不能整除g，那麼設h(x)是g(x)用f(x)除后的非零餘數多項式，即g(x)=f(x)f1(x)+h(x)，則deg h而且由於f(a)=g(a)=0，則h(a)=g(a)-f(a)f1(a)=0-0*f1(a)=0。

任何乙個複數a，如果一旦存在有理數多項式p(x)，滿足a是他的根。那麼滿足q(a)=0的有理數多項式裡一定有個次數最低的（設為q(x))，這個是當然存在的，因為多項式次數是有下限的。

而且關鍵的是：剩下的所有滿足p(a)=0的有理數多項式p(x)，就都是q(x)的倍數。這個很容易證明。

設有r(x)不是q(x)的倍數，且r(a)=0，則r(x)被q(x)除的非零餘式多項式s(x)也滿足s(a)=0，但這樣一來，s的次數比q還要低，這就與q的次數最低的定義相矛盾了。所以，相當於這個a，有個以他為根的次數最低的「本原多項式」。

簡單的說，設這個根a在有理數域的「本原多項式」是q(x)，因為h(a)=f(a)=0，那麼必定有q(x)|h(x)，和q(x)|f(x)。

因為deg q<=deg h，而且deg h

這些推理裡用到了多項式乘除法，對於有理數域是封閉性操作的性質，不過這個你應該都懂。

f(x)是次數n(n>=2)的係數為正整數的乙個多項式，且根為實數，證明f(x)在有理數域上不可約 5

3樓：

結論是不對的，比如p=q=0的時候有n個實根，因為習慣上多項式的根是要計重數的，所以需要適當修正一下：

當n為偶數時至多有兩個不同的實根，當n為奇數至多有三個不同的實根。

首先，若f(x)=x^n+px+q至少有四個不同的實根，利用兩次rolle定理可得f''(x)至少有兩個不同的實根，但是f''(x)=n(n-1)x^只有x=0乙個零點，矛盾。

當n是偶數時，若f(x)至少有三個不同的實根，用一次rolle定理得f'(x)至少有兩個不同的實根，然而f'(x)=nx^+p單調，最多只有乙個零點，矛盾。

證明多項式粉f(x)=x^5-5x 1在有理數域上不可約

4樓：匿名使用者

猜f(x)=x^5-5x+1,

f(1)=-3,f(-1)=5,

∴土1不是f(x)的零點，f(x)的零點不是有理點，∴命題成立。

證明多項式粉f(x)=x^5-5x+1在有理數域上不可約

5樓：未濟村雨

一樓答案雖然對了，但是過程卻是錯的。比如f(x)=(x∧2+x+3)(x∧2+x+5)這個多項式，它在有理數域內也沒有有理根，但是它卻是可約的。一樓的方法只適用於三次函式，當次數大於等於4後，就不能用是否有有理根來判斷多項式是否可約。

6樓：匿名使用者

根據廣義的韋達定理，多項式f(x)=x^5-5x+1=0的解只可能是1或者-1，而當x=1或者x=-1時，多項式f(x)=x^5-5x+1有都不等於0，所以，這個多項式在有理數域不可約。