1樓：水凌志
什麼叫作矩陣
矩陣乘法是線性代數中最常見的運算之一，它在數值計算中有廣泛的應用。若a和b是2個nn的矩陣，則它們的乘積c=ab同樣是乙個nn的矩陣。a和b的乘積矩陣c中的元素c[i,j]定義為:
若依此定義來計算a和b的乘積矩陣c，則每計算c的乙個元素c[i,j]，需要做n個乘法和n-1次加法。因此，求出矩陣c的n2個元素所需的計算時間為0(n3)。
60年代末，strassen採用了類似於在大整數乘法中用過的分治技術，將計算2個n階矩陣乘積所需的計算時間改進到o(nlog7)=o(n2.18)。
首先，我們還是需要假設n是2的冪。將矩陣a，b和c中每一矩陣都分塊成為4個大小相等的子矩陣，每個子矩陣都是n/2n/2的方陣。由此可將方程c=ab重寫為:
(1)由此可得:
c11=a11b11 a12b21(2)
c12=a11b12 a12b22(3)
c21=a21b11 a22b21(4)
c22=a21b12 a22b22(5)
如果n=2，則2個2階方陣的乘積可以直接用(2)-(3)式計算出來，共需8次乘法和4次加法。當子矩陣的階大於2時，為求2個子矩陣的積，可以繼續將子矩陣分塊，直到子矩陣的階降為2。這樣，就產生了乙個分治降階的遞迴演算法。
依此演算法，計算2個n階方陣的乘積轉化為計算8個n/2階方陣的乘積和4個n/2階方陣的加法。2個n/2n/2矩陣的加法顯然可以在c*n2/4時間內完成，這裡c是乙個常數。因此，上述分治法的計算時間耗費t(n)應該滿足：
這個遞迴方程的解仍然是t(n)=o(n3)。因此，該方法並不比用原始定義直接計算更有效。究其原因，乃是由於式(2)-(5)並沒有減少矩陣的乘法次數。
而矩陣乘法耗費的時間要比矩陣加減法耗費的時間多得多。要想改進矩陣乘法的計算時間複雜性，必須減少子矩陣乘法運算的次數。按照上述分治法的思想可以看出，要想減少乘法運算次數，關鍵在於計算2個2階方陣的乘積時，能否用少於8次的乘法運算。
strassen提出了一種新的演算法來計算2個2階方陣的乘積。他的演算法只用了7次乘法運算，但增加了加、減法的運算次數。這7次乘法是:
m1=a11(b12-b22)
m2=(a11 a12)b22
m3=(a21 a22)b11
m4=a22(b21-b11)
m5=(a11 a22)(b11 b22)
m6=(a12-a22)(b21 b22)
m7=(a11-a21)(b11 b12)
做了這7次乘法後，再做若干次加、減法就可以得到:
c11=m5 m4-m2 m6
c12=m1 m2
c21=m3 m4
c22=m5 m1-m3-m7
以上計算的正確性很容易驗證。例如:
c22=m5 m1-m3-m7
=(a11 a22)(b11 b22) a11(b12-b22)-(a21 a22)b11-(a11-a21)(b11 b12)
=a11b11 a11b22 a22b11 a22b22 a11b12
-a11b22-a21b11-a22b11-a11b11-a11b12 a21b11 a21b12
=a21b12 a22b22
由(2)式便知其正確性。
至此，我們可以得到完整的strassen演算法如下：
procedurestrassen(n,a,b,c);beginifn=2thenmatrix-multiply(a，b，c)elsebegin將矩陣a和b依(1)式分塊;strassen(n/2,a11,b12-b22,m1);strassen(n/2,a11 a12,b22,m2);strassen(n/2,a21 a22,b11,m3);strassen(n/2,a22,b21-b11,m4);strassen(n/2,a11 a22,b11 b22,m5);strassen(n/2,a12-a22,b21 b22,m6);strassen(n/2,a11-a21,b11 b12,m7);
;end;
end;
其中matrix-multiply(a，b，c)是按通常的矩陣乘法計算c=ab的子演算法。
strassen矩陣乘積分治演算法中，用了7次對於n/2階矩陣乘積的遞迴呼叫和18次n/2階矩陣的加減運算。由此可知，該演算法的所需的計算時間t(n)滿足如下的遞迴方程:
按照解遞迴方程的套用公式法，其解為t(n)=o(nlog7)≈o(n2.81)。由此可見，strassen矩陣乘法的計算時間複雜性比普通矩陣乘法有階的改進。
有人曾列舉了計算2個2階矩陣乘法的36種不同方法。但所有的方法都要做7次乘法。除非能找到一種計算2階方陣乘積的演算法，使乘法的計算次數少於7次，按上述思路才有可能進一步改進矩陣乘積的計算時間的上界。
但是hopcroft和kerr(197l)已經證明，計算2個22矩陣的乘積，7次乘法是必要的。因此，要想進一步改進矩陣乘法的時間複雜性，就不能再寄希望於計算22矩陣的乘法次數的減少。或許應當研究33或55矩陣的更好演算法。
在strassen之後又有許多演算法改進了矩陣乘法的計算時間複雜性。目前最好的計算時間上界是o(n2.367)。
而目前所知道的矩陣乘法的最好下界仍是它的平凡下界ω(n2)。因此到目前為止還無法確切知道矩陣乘法的時間複雜性。關於這一研究課題還有許多任務作可做。
關於應用
簡單一點的
**，像考試分數求和
複雜一點的
魔方的解決方法，用矩陣代換方法
2樓：綠水如鏡
ls那一長篇的，又從**copy的，鄙s
3樓：匿名使用者
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
矩陣在現實生活中有哪些應用？
4樓：111111前的
1、矩陣在經濟生活中的應用
矩陣就是在行列式的基礎上演變而來的，可活用行列式求花費總和最少等類似的問題；可借用特徵值和特徵向量**若干年後的汙水水平等問題；也可利用矩陣的方法求線性規劃問題中的最優解，求解企業生產哪一種型別的產品，獲得的利潤最大。
2、在人口流動問題方面的應用
這是矩陣高次冪的應用，比如**未來的人口數量、人口的發展趨勢等。
3、矩陣在密碼學中的應用
可用可逆矩陣及其逆矩陣對需傳送的秘密訊息加密和譯密。
4、矩陣在文獻管理中的應用
矩陣在現實生活中的應用
5樓：潘廣雲
隨著現代科學的發展，數學中的矩陣也有更廣泛而深入的應用，下面列舉幾項矩陣在現實生活中的應用：
可「活用」行列式求花費總和最少等類似的問題；
可「借用」特徵值和特徵向量**若干年後的汙染水平等問題。
在人口流動問題方面的應用
這是矩陣高次冪的應用，比如**未來的人口數數、人口的發展趨勢。
矩陣在密碼學中的應用
可用可逆矩陣及其逆矩陣對需傳送的秘密訊息加密和譯密。
矩陣在文獻管理中的應用
6樓：匿名使用者
一、矩陣圖法的涵義
矩陣圖法就是從多維問題的事件中，找出成對的因素，排列成矩陣圖，然後根據矩陣圖來分析問題，確定關鍵點的方法，它是一種通過多因素綜合思考，探索問題的好方法。 在複雜的質量問題中，往往存在許多成對的質量因素．將這些成對因素找出來，分別排列成行和列，其交點就是其相互關聯的程度，在此基礎上再找出存在的問題及問題的形態，從而找到解決問題的思路。 短陣圖的形式如圖所示，a 為某乙個因素群，a1、a2、a3、a4、…是屬於a這個因素群的具體因素，將它們排列成行；b為另乙個因素群，b1、b2、b3、b4、…為屬於b這個因素群的具體因素，將它們排列成列；行和列的交點表示a和b各因素之間的關係。
按照交點上行和列因素是否相關聯及其關聯程度的大小，可以探索問題的所在和問題的形態，也可以從中得到解決問題的啟示等。 質量管理中所使用的矩陣圖，其成對因素往往是要著重分析的質量問題的兩個側面，如生產過程中出現了不合格品時，著重需要分析不合格的現象和不合格的原因之間的關係，為此，需要把所有缺陷形式和造成這些缺陷的原因都羅列出來，逐一分析具體現象與具體原因之間的關係，這些具體現象和具體原因分別構成矩陣圖中的行元素和列元素。 矩陣圖的最大優點在於，尋找對應元素的交點很方便，而且不遺漏，顯示對應元素的關係也很清楚。
矩陣圖法還具有以下幾個點： ①可用於分析成對的影響因素； ②因素之間的關係清晰明了，便於確定重點； ③便於與系統圖結合使用。
二、矩陣圖法的用途 矩陣圖法的用途十分廣泛．在質量管理中．常用矩陣圖法解決以下問題： ①把系列產品的硬體功能和軟體功能相對應，並要從中找出研製新產品或改進老產品的切入點； ②明確應保證的產品質量特性及其與管理機構或保證部門的關係，使質量保證體制更可靠； ③明確產品的質量特性與試驗測定專案、試驗測定儀器之間的關係，力求強化質量評價體制或使之提高效率； ④當生產工序中存在多種不良現象，且它們具有若干個共同的原因時，希望搞清這些不良現象及其產生原因的相互關係，進而把這些不良現象一舉消除； ⑤在進行多變數分析、研究從何處入手以及以什麼方式收集資料。
三、矩陣圖的型別 矩陣圖法在應用上的乙個重要特徵，就是把應該分析的物件表示在適當的矩陣圖上。因此，可以把若干種矩陣圖進行分類，表示出他們的形狀，按物件選擇並靈活運用適當的矩陣圖形。常見的矩陣圖有以下幾種：
(1)l型矩陣圖。是把一對現象用以矩陣的行和列排列的二元表的形式來表達的一種矩陣圖，它適用於若干目的與手段的對應關係，或若干結果和原因之間的關係。 (2)t型矩陣圖。
是a、b兩因素的l型矩陣和a、c兩因素的l型矩陣圖的組合矩陣圖，這種矩陣圖可以用於分析質量問題中「不良現象一原因一工序」之間的關係，也可以用於分析探索材料新用途的「材料成分一特性一用途」之間酌關係等。 (3)y型矩陣圖。是把a因素與b因素、b因素與c因素、c因素與a因素三個l型矩陣圖組合在一起而形成的矩陣圖。
(4) x型矩陣圖。是把a因素與b因素、b因素與c因素、c因素與d因素、d因素與a因素四個l型矩陣圖組合而形成的矩陣圖，這種矩陣圖表示a和b、d，d和 a、c，c和b、d，d和a、c這四對因素間的相互關係，如「管理機能一管理專案一輸入資訊一輸出資訊」就屬於這種型別。 （5)c型矩陣圖。
是以a、b、c三因素為邊做出的六面體，其特徵是以a、b、c三因素所確定的三維空間上的點為「著眼點」。
四、製作矩陣圖的步驟 製作矩陣圖一般要遵循以下幾個步驟： ①列出質量因素： ②把成對對因素排列成行和列，表示其對應關係； ③選擇合適的矩陣圖型別； ④在成對因素交點處表示其關係程度，一般憑經驗進行定性判斷，可分為三種：
關係密切、關係較密切、關係一般（或可能有關係)，並用不同符號表示； ⑤根據關係程度確定必須控制的重點因素； ⑥針對重點因素作對策表。
什麼是逆矩陣有什麼意義矩陣的逆有何幾何意義？
設a是數域上的乙個n階矩 陣，若在相同數域上存在另乙個n階矩陣b，使得 ab ba e 則我們稱b是a的逆矩陣，而a則被稱為可逆矩陣。注 e為單位矩陣。逆矩陣，或可逆是線性代數中最重要的內容。1 下列命題等價 1 a為n階可逆矩陣 2 a是非奇異的。3 a是滿秩的。4 a是行滿秩的。5 a是列滿秩的...
選題依據及研究意義,什麼是開題依據？研究目的？研究意義？選題的研究現狀及主要參考文獻？擬研究的主要內容創新點重難點及思
岩溶空隙指岩溶地塊中發育的溶蝕空間，包括溶蝕裂隙 溶洞 溶蝕管道等。由於岩溶發育的特點，在近地表處常發育了較多的岩溶空隙，這類空隙由於離地表很近，與人類活動關係密切，從礦坑抽水到人類對飲用水的開發 房屋建設 鐵路運輸 水庫的修建等都反映出這種密切性。地下空隙造成的地面失穩事件非常頻繁，給社會帶來了不...
什麼是矩陣，「矩陣」是什麼意思？
矩陣矩陣就是由方程組的係數及常數所構成的方陣。把用在解線性方程組上既方便，又直觀。例如對於方程組。a1x b1y c1z d1 a2x b2y c2z d2 a3x b3y c3z d3 來說，我們可以構成兩個矩陣 a1b1c1a1b1c1d1 a2b2c2a2b2c2d2 a3b3c3a3b3c3...