內積與矩陣範數,什麼是矩陣的範數

2021-08-14 13:56:38 字數 3848 閱讀 3126

1樓:百度文庫精選

內容來自使用者:greathellok

範數:用於度量“量”大小的概念

1.引言

實數的絕對值:是數軸上的點到原點的距離;

複數的模:是平面上的點到原點的距離;

還有其他刻畫複數大小的方法(準則):如

1);2)

2.向量的範數:p-範數

(1)示例:

3.矩陣(運算元)的範數

(2)矩陣的譜半徑:設是階矩陣,稱

(3)為該矩陣的譜半徑。記,

那麼,(3)

4.矩陣的條件數:用於刻畫矩陣“病態”程度的概念5.利用範數定義點之間的距離

向量的內積、範數及維空間距離的度量

令是一數域,是上的向量空間,如果函式有如下性質:

1、共軛對稱性:,;

2、非負性:,,;

3、線性性:,,

;則稱是上的一個向量內積(inner product),向量空間上的向量內積通常用符號表示,定義了內積的向量空間稱為內積空間(inner product space)。記做表示。

例1.1 ,,,容易驗證函式

(1.1)

定義了上的一個內積。

令是一數域,是上的向量空間,如果函式有如下性質:

1、非負性:,,;

2、齊次性:,,;

3、三角不等式:,;

則稱是上的一個向量範數(norm),向量空間上的範數通常用符號表示。定義了範數的向量空間稱為賦範空間(normed space)。記做例1.

2樓:幫你學習高中數學

其實max就是ax的歐式範數。因是s的歐式範數

乘上ax的歐式範數在乘上它們夾角cos值,不難得到最大值一定就是ax的歐式範數。

由於x的2-範數是1,因此||a||其實就是a的普範數,那麼普範數就是a的擁有最大模長的特徵值

什麼是矩陣的範數

3樓:電燈劍客

百科裡面有,雖然還很不完整,不過對你來講應該夠了

裡面是按方陣寫的,長方形的公式都一樣。

理論上講範數的概念屬於賦範線性空間,最重要的作用是誘匯出距離,進而還可以研究收斂性。

對於矩陣而言沒必要考慮範數的區別,因為有限維空間的範數都等價(minkowski定理),實際應用當中根據使用的難易程度來選取範數。其中理論性質最好的是2-範數,因為它可以由內積來誘導,同時和譜有著密切關聯,所以常用來進行理論分析。

矩陣裡面的範數有什麼意義?

4樓:殘帆影

舉個例子 在數值計算中計算矩陣的演算法中常常要判斷演算法的解是否收斂 這時最準確的方法是判斷矩陣的最大特徵值 但是矩陣的特徵值得計算相對麻煩 所以可以近似的用範數代替 但是不夠準確 但是很高效

理論上講範數的概念屬於賦範線性空間,最重要的作用是誘匯出距離,進而還可以研究收斂性。 對於矩陣而言沒必要考慮範數的區別,因為有限維空間的範數都等價(minkowski定理),實際應用當中根據使用的難易程度來選取範數。其中理論性質最好的是2-範數,因為它可以由內積來誘導,同時和譜有著密切關聯,所以常用來進行理論分析。

矩陣相乘與範數之間的關係!急! 15

5樓:匿名使用者

0<=(x^t)lx<=2||x||^2

向量範數和矩陣範數從屬範數的定義是什麼?分別寫出他們的∞範圍、1-範圍和2-範圍

6樓:劉賀

向量的範數概念還是比較好理解的,這是從內積概念引入的

一般向量有∞-範數、1-範數和2-範數的概念

對於向量x,∞-範數寫為||x||∞,1-範數寫為||x||1,2-範數寫為||x||2

||x||∞是x的所有元素絕對值中的最大值;1-範數是x的所有元素絕對值的和

2-範數是先對x是所有元素求平方和,再開平方即是

更一般的是寫作p-範數形式,p可以取1、2和∞

矩陣的範數和向量的範數概念是不同的,a是矩陣,則:

1-範數是:max(sum(abs(a)),就是對a的每列的絕對值求和

再求其中的最大值,也叫列範數

2-範數是:求a'*a 的特徵值,找出其中的最大特徵值,求其平方根

相當於max(sqrt(eig(a'*a))),也叫譜範數

∞-範數是:max(sum(abs(a')),就是對a的每行的絕對值求和

再求其中的最大值,也叫行範數

當然還有一種f-範數,就是求矩陣每個元素的平方和,後開平方

矩陣範數與運算元範數有什麼區別?

7樓:匿名使用者

一、囊括範圍不同

1、矩陣範數:將一定的矩陣空間建立為賦範向量空間時為矩陣裝備的範數。

2、運算元範數:運算元範數(operate norm)是矩陣範數的一種。

二、應用形式表達不同

1、矩陣範數:應用中常將有限維賦範向量空間之間的對映以矩陣的形式表現,這時對映空間上裝備的範數也可以通過矩陣範數的形式表達。

2、運算元範數:運算元範數是矩陣範數的一種,設向量x是一個n維向量,a是一個n*n的矩陣,則a的運算元範數為max(ax/x),運算元範數也稱從屬範數,其中x≠0。

8樓:電燈劍客

對於矩陣而言,矩陣範數真包含運算元範數,也就是說任何一種運算元範數一定是矩陣範數,但是某些矩陣範數不能作為運算元範數(比如frobenius範數)。

線性代數向量內積可以用小括號(α,β)表示嗎?還有向量範數可以|α|表示嗎?書上是‖α‖

9樓:尹六六老師

內積一般課本用記號(α,β)

或者α'β表示

向量範數都是用||α||的

如何求矩陣的一範數 一範數和二範數有啥區別?

10樓:匿名使用者

∑|一、求法

1-範數:║a║1 = max(列和範數,a每一列元素絕對值之和的最大值),其中∑|ai1|第一列元素絕對值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其餘方法相同);

2-範數:║a║2 = a的最大奇異值 =(max)^(其中a^h為a的轉置共軛矩陣)。

二、區別:

1、意義不同:1-範數是指向量(矩陣)裡面非零元素的個數,2-範數(或euclid範數)是指空間上兩個向量矩陣的直線距離。

2、求法不同:1-範數║a║1 = max,2-範數:║a║2 = a的最大奇異值 = (max)^。

11樓:ivy夏戀

1-範數:是指向量(矩陣)裡面非零元素的個數。類似於求棋盤上兩個點間的沿方格邊緣的距離。

||x||1 = sum(abs(xi));

2-範數(或euclid範數):是指空間上兩個向量矩陣的直線距離。類似於求棋盤上兩點見的直線距離 (無需只沿方格邊緣)。

||x||2 = sqrt(sum(xi.^2));

∞-範數(或最大值範數):顧名思義,求出向量矩陣中其中模最大的向量。

||x||∞ = max(abs(xi));

ps.由於不能敲公式,所以就以偽**的形式表明三種範數的演算法,另外加以文字說明,希望樓主滿意。相互學習,共同進步~

12樓:匿名使用者

範數的意義是可以度量誤差對結果的影響,1範數和二範數只是兩種度量方式

13樓:匿名使用者

a=0 1

0 0

|a-λe| =

-λ 1

0 -λ

= λ^2

所以a的特徵值為: 0, 0.

範數的運算元範數,矩陣範數與運算元範數有什麼區別?

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