1樓：
可以照搬√2是無理數的證明來證明√3是無理數。
設a/b=√3，a/b是既約分數
兩邊平方，得a^2/b^2=3,a^2=3b^2那麼：a^2是3的倍數（記作3|a^2），3|a，設a=3k那麼(3k)^2=3b^2,9k^2=3b^2,b^2=3k^2所以3|b^2，3|b，a,b都是3的倍數，與a/b是既約分數相矛盾。所以找不出這樣的乙個既約分數等於√3。
我們知道，整數和分數是有理數，而√3既不是分數，更不是整數，由此只能得出結論：√3不是有理數，即√3是無理數。
2樓：
反證法設√3=m/n,為有理數 (n.m)=1互質兩邊平方：3n^2=m^2
因m,n互質，則m須為3的倍數，令m=3k3n^2=9k^2, n^2=3k^2
因m,n互質，則n須為3的倍數，
這樣,m,n至少有公因數3，與假設矛盾。
所以為√3無理數
3樓：王曉韜
因為沒有乙個有理數的平方是三。。。。
4樓：大鋼蹦蹦
它就是無理數。不用問什麼。
請證明：根號三是無理數
5樓：風之鷂
^^1、假設根號3=p/q(p、q為互質整數）,則p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是質數,所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾,所以根號3是無理數
2、設x=根號3,則有方程x^2=3
假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數）,根據牛頓有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,從而x=1或3,顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾.
3、設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt為整數,矛盾
拓展資料：
由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀下半葉。2023年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的「分割」來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為「無理」的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。
6樓：匿名使用者
^證明根號3是無理數，使用反證法
如果√3是有理數，必有√3=p/q（p、q為互質的正整數）兩邊平方：3=p^2/q^2
p^2=3q^2
顯然p為3的倍數，設p=3k（k為正整數）有9k^2=3q^2 即q^2=3k^2
於是q於是3的倍數，與p、q互質矛盾
∴假設不成立，√3是無理數
7樓：雄鷹
分析：①有理數的概念：
「有限小數」和「無限迴圈小數」統稱為有理數。
整數和分數也統稱為有理數。
所有的分數都是有理數，分子除以分母，最終一定是迴圈的。
②無理數的概念：無限不迴圈小數，可引申為「開方開不盡的數」。
③反證法的要領是假設乙個明顯荒謬的結論成立，然後正確地證明原假設是錯誤的。
解：假設(√3)是有理數，
∵ 1＜3＜4
∴(√1)＜(√3)＜(√4)
即：1＜(√3)＜2
∴(√3)不是整數。
∵整數和分數也統稱為有理數，而(√3)不是整數
∴在假設「(√3)是有理數」的前提下，(√3)只能是乙個分子分母不能約分的分數。
此時假設 (√3) = m/n(m、n均為正整數且互質，二者不能再約分，即二者除1外再無公因數)
兩邊平方，得：
m² / n² = 3
∴m² 是質數3的倍數
我們知道，如果兩個數的乘積是3的倍數，那麼這兩個數當中至少有乙個數必是3的倍數。
∴由「m² (m與m的乘積) 是質數3的倍數」得：正整數m是3的倍數。
此時不妨設 m = 3k(k為正整數)
把「m = 3k」 代入「m² / n² = 3」 ，得：
(9k²) / n² = 3
∴3k² = n²
即：n² / k² = 3
對比「m² / n² = 3「 同理可證
正整數n也是3的倍數
∴正整數m和n均為3的倍數
這與「m、n均為正整數且互質」相矛盾。
意即由原假設出發推出了乙個與原假設相矛盾的結論，
∴原假設「(√3) = m/n(m、n均為正整數且互質，二者不能再約分，即二者除1外再無公因數)」是不成立的。
∴(√3) 不能是乙個分子分母不能約分的分數
而已證(√3) 不是整數
∴(√3) 既 不是整數也不是分數，即(√3) 不是有理數。
∴(√3) 是無理數。
8樓：遲沛山告琳
方法一：假設根號3=p/q(p、q為互質整數），則p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是質數，所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾，所以根號3是無理數
方法二：設x=根號3，則有方程x^2=3
假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數），根據牛頓有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，從而x=1或3，顯然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。
方法三：設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt為整數，矛盾
9樓：樸卉吾嘉懿
^反證：假設根號3是有理數，則存在兩個互質整數m和n使得根號3=m/n.兩邊平方並整理得m^2=3n^2,
於是m是3的倍數，令m=3q,
代入上式整理得：n^2=3q^2,
故n也是3的倍數，這與m,n互質矛盾。故根號3是無理數。證畢。
證明根號3是無理數
10樓：分割**
反證法：假設√3是有理數。
1^2< (√3)^2<2^2
1<√3<2,所以√3不是整數，
設√3=p/q ，p和q互質
把 √3=p/q 兩邊平方
3=(p^2)/(q^2)
3(q^2)=p^2
3q^2是3的倍數數，p 必定3的倍數，設p=3k3(q^2)=9(k^2)
q^2=3k^2
同理q也是3的倍數數，
這與前面假設p，q互質矛盾。
因此√3是無理數。
11樓：類嘉容芒琪
方法一：假設根號3=p/q(p、q為互質整數），則p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是質數，所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾，所以根號3是無理數
方法二：設x=根號3，則有方程x^2=3
假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數），根據牛頓有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，從而x=1或3，顯然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。
方法三：設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt為整數，矛盾
12樓：蓬晴畫卜淼
反證：假設√3是有理數，不妨設：
√3＝p/q
其中（p,q）=1
則有，p^2=3q^2
因為(p,q)=1，所以(p^2,q^2)=1故可得：3|p^2
得：3|p^2
故可設p=3k
由√3＝p/q
得：√3＝3k/q
(k,q)=1
得：q=3k^2
由上，同樣可證：3|q^2
因此，3是p^2與q^2的公約數
這與(p,q)=1矛盾。
綜上所述，√3為無理數。
13樓：鞠良驥文暄
首先你要知道任何乙個有理數均可以表示成p/q的形式（pq均為不為0的整數
且互質）
假設根號3是有理數
且可以表示成p/q
有3=p^2/q^2
p^2=3q^2
p^2是3的倍數
那麼p也是3的倍數
設p=3k
有9k^2=3q^2
3k^2=q^2
所以q^2是3的倍數
q也是3的倍數
設q=3m
可見pq有公約數3
與pq互質矛盾
14樓：黃昏小宇
樓上的那個人的證明貌似有問題將3換成4得到的結論是根號4也是無理數
15樓：
證明：假設√3不是無理數，而是有理數。
既然√3是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式：
√3=p/q
又由於p和q沒有公因數可以約去，所以可以認為p/q 為既約分數,即最簡分數形式。
把 √3=p/q 兩邊平方
得 3=(p^2)/(q^2)
即3(q^2)=p^2
由於3q^2是3的倍數數，p 必定3的倍數，設p=3m由 23(q^2)=9(m^2)
得 q^2=3m^2
同理q必然也為偶數，設q=3n
既然p和q都是3的倍數，他們必定有公因數3，這與前面假設p/q是既約分數矛盾。這個矛盾是有假設√3是有理數引起的。因此√3是無理數。
16樓：緣隨雨
反證法：
假設結論不成立（接下來用a表示根號3，因為不好打），即a為有理數，
那麼存在正整數p和q（p,q無公因子，或稱互質）,使得a=p/q(有理數的性質)，兩邊平方，得到
p^2=3*q^2,
接下來分析，（具體過程可以有多種，但是都是從公因子3入手，引出矛盾）
因為等號右邊有因子3，且3為質數，因此p一定是3的倍數，設p=3r,代入等式並約分得到，
3*r^2=q^2
同理，q也一定是3的倍數，於是p、q均為3的倍數，與p、q互質矛盾。
故有反證法的原理，知a為無理數
根號3是有理數，還是無理數
17樓：叫那個不知道
根號3是無理數。無理數，也稱為無限不迴圈小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會迴圈。
常見的無理數有非完全平方數的平方根、π和e（其中後兩者均為超越數）等。無理數的另一特徵是無限的連分數表示式。無理數最早由畢達哥拉斯學派**希伯索斯發現。
擴充套件資料
希伯索斯的發現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷，證明了它不能同連續的無限直線等同看待，有理數並沒有佈滿數軸上的點，在數軸上存在著不能用有理數表示的「孔隙」。而這種「孔隙」經後人證明簡直多得「不可勝數」。
於是，古希臘人把有理數視為連續銜接的那種算術連續統的設想徹底地破滅了。不可公度量的發現連同芝諾悖論一同被稱為數學史上的第一次數學危機，對以後2000多年數學的發展產生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺、經驗而轉向依靠證明，推動了公理幾何學和邏輯學的發展，並且孕育了微積分思想萌芽。
長期以來眾說紛紜，得不到正確的解釋，兩個不可通約的比值也一直認為是不可理喻的數。15世紀義大利著名畫家達.芬奇稱之為「無理的數」，17世紀德國天文學家克卜勒稱之為「不可名狀」的數。
然而真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學派抹殺真理才是「無理」。人們為了紀念希伯索斯這位為真理而獻身的可敬學者，就把不可通約的量取名「無理數」——這就是無理數的由來。
由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀下半葉。2023年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的「分割」來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為「無理」的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。
怎麼證明根號3是無理數，根號5呢，根號7等
反證法 假設根號3是有理 數，那麼一定能表示為乙個分數p q，p q為互素的正整數根號3 p q，3q 2 p 2，說明p必是3的倍數，設為3k則3q 2 9k 2,即q 2 3k 2 由此推出q也必為3的倍數，這和p q為互素的正整數矛盾於是根號3不是有理數 如何證明根號2加根號3再加根號5是無理...
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證明 （1）根號5是無理數（2）根號3 根號5是無理數
1 無理數不能寫成兩整數之比 利用有理數和無理數的主要區別，可以證明 5是無理數。證明 假設 5不是無理數，而是有理數。既然 5是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式 5 p q又由於p和q沒有公因數可以約去，所以可以認為p q為最簡分數,即最簡分數形式。把 5 p q 兩邊平方 得5 p 2 ...