1樓：匿名使用者
證明: ∵ √
10=√9x10/9
=√3²x10/9
=3√10/9
又10/9是化小數為無限迴圈小數為1.11……。那麼√10/9為無理內數，那
容麼3√10/9仍為無理數。
故 √10為無理數。
2樓：匿名使用者
假設√10是有理數
bai,設它能寫du
成最簡分數p/q的形式zhi,即p=q√dao10由於√9<√10<√16,√10在
回3和4之間
所以有0<√10-3<1
兩邊乘以答q,得0 注意到q√10=p是正整數,3q也是正整數,所以q√10-3q當然也是正整數,它小於q,我設為q1 再在上述不等式兩邊乘以√10,得0<10q-3q√10 注意看,p1/q1=(10q-3q√10)/(q√10-3q)=√10,即有乙個新的分數p1/q1=√10,但分子分母都比原來的p和q要小,這跟假設的p/q是最簡分數矛盾 所以√10不會是有理數 如何才能證明根號10位無理數 3樓：匿名使用者 證明：假設√10不是無理數，而是有理數。 既然√10是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式： √10=p/q 又由於p和q沒有公因數可以約去，所以可以認為p/q 為最簡分數,即最簡分數形式。 把 √10=p/q 兩邊平方 得 10=(p^2)/(q^2) 即 10(q^2)=p^2由於10q^2是偶數，p 必定為偶數，設p=2m由 10(q^2)=4(m^2) 得5 q^2=2m^2 /這個5對它沒有影響，不會影響它是偶數/同理q必然也為偶數，設q=2n 請證明：根號三是無理數 4樓：風之鷂 ^^1、假設根號3=p/q(p、q為互質整數）,則p^2=3q^2 所以3整除p^2,因3是質數,所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q 因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾,所以根號3是無理數 2、設x=根號3,則有方程x^2=3 假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數）,根據牛頓有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,從而x=1或3,顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾. 3、設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1 根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt為整數,矛盾 拓展資料： 由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀下半葉。2023年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的「分割」來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為「無理」的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。 5樓：匿名使用者 ^證明根號3是無理數，使用反證法 如果√3是有理數，必有√3=p/q（p、q為互質的正整數）兩邊平方：3=p^2/q^2 p^2=3q^2 顯然p為3的倍數，設p=3k（k為正整數）有9k^2=3q^2 即q^2=3k^2 於是q於是3的倍數，與p、q互質矛盾 ∴假設不成立，√3是無理數 6樓：雄鷹 分析：①有理數的概念： 「有限小數」和「無限迴圈小數」統稱為有理數。 整數和分數也統稱為有理數。 所有的分數都是有理數，分子除以分母，最終一定是迴圈的。 ②無理數的概念：無限不迴圈小數，可引申為「開方開不盡的數」。 ③反證法的要領是假設乙個明顯荒謬的結論成立，然後正確地證明原假設是錯誤的。 解：假設(√3)是有理數， ∵ 1＜3＜4 ∴(√1)＜(√3)＜(√4) 即：1＜(√3)＜2 ∴(√3)不是整數。 ∵整數和分數也統稱為有理數，而(√3)不是整數 ∴在假設「(√3)是有理數」的前提下，(√3)只能是乙個分子分母不能約分的分數。 此時假設 (√3) = m/n(m、n均為正整數且互質，二者不能再約分，即二者除1外再無公因數) 兩邊平方，得： m² / n² = 3 ∴m² 是質數3的倍數 我們知道，如果兩個數的乘積是3的倍數，那麼這兩個數當中至少有乙個數必是3的倍數。 ∴由「m² (m與m的乘積) 是質數3的倍數」得：正整數m是3的倍數。 此時不妨設 m = 3k(k為正整數) 把「m = 3k」 代入「m² / n² = 3」 ，得： (9k²) / n² = 3 ∴3k² = n² 即：n² / k² = 3 對比「m² / n² = 3「 同理可證 正整數n也是3的倍數 ∴正整數m和n均為3的倍數 這與「m、n均為正整數且互質」相矛盾。 意即由原假設出發推出了乙個與原假設相矛盾的結論， ∴原假設「(√3) = m/n(m、n均為正整數且互質，二者不能再約分，即二者除1外再無公因數)」是不成立的。 ∴(√3) 不能是乙個分子分母不能約分的分數 而已證(√3) 不是整數 ∴(√3) 既 不是整數也不是分數，即(√3) 不是有理數。 ∴(√3) 是無理數。 7樓：遲沛山告琳 方法一：假設根號3=p/q(p、q為互質整數），則p^2=3q^2 所以3整除p^2,因3是質數，所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q 因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾，所以根號3是無理數 方法二：設x=根號3，則有方程x^2=3 假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數），根據牛頓有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，從而x=1或3，顯然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。 方法三：設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1 根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt為整數，矛盾 8樓：樸卉吾嘉懿 ^反證：假設根號3是有理數，則存在兩個互質整數m和n使得根號3=m/n.兩邊平方並整理得m^2=3n^2, 於是m是3的倍數，令m=3q, 代入上式整理得：n^2=3q^2, 故n也是3的倍數，這與m,n互質矛盾。故根號3是無理數。證畢。 如何用算術基本定理證明根號10是無理數 9樓：匿名使用者 設√10為有理數，不妨設√10=n/m(n,m之間互質)則n^2=10m^2 可見n^2是10的倍 數按原理n是10的倍數 設n=10k 代入得m^2=10k^2 可見m^2是10的倍數 按原理m是10的倍數 但這與m,n互質矛盾 所以√10不是有理數 10樓：匿名使用者 先 設 根號10=p/q, p ,q互 為 質數 ，然 後 用 反 證 法 ， 具 體 參 見 下 面 這 個 鏈 接 裡 的 反 證 法 ： 11樓：匿名使用者 我同意這種證明方法： 設√10為有理數，不妨設√10=n/m(n,m之間互質)則n^2=10m^2可見n^2是10的倍數按原理n是10的倍數 設n=10k 代入得m^2=10k^2 可見m^2是10的倍數 按原理m是10的倍數 但這與m,n互質矛盾 所以√10不是有理數 如何證明根號6加根號10是無理數 12樓：匿名使用者 ^證明：假設 x =√6 +√10 是有 理數,則 √10 =x -√6, 所以 10 =x^2 -2√6 x +6. 所以 √6 =(x^2 -4) / (2x). 又因為 x 是有理版數, 所以 √6 =(x^2 -4) / (2x) 是有理數. 與 √6 是無權理數 矛盾. 所以 假設不成立, 即 √6 +√10 是無理數. = = = = = = = = = 以上用到乙個結論： 若 n是正整數，且不是完全平方數，則 √n 是無理數。 這道題可推廣為： 若 a,b 是正有理數，且√a,√b是無理數，則√a +√b 是無理數. 但是，無理數 +無理數 不一定是 無理數。 如：√2 +(2-√2) =2, π +(3-π) =3. ... ... 13樓：久違迷霧 用計算器打二次根號6和10就出來了 14樓：單純§寶貝 無理數加無理數還能是有理數麼，用計算器算，是無限不迴圈小數 15樓：匿名使用者 無理數+無理數=無理數 根號10是有理數還是無理數 16樓：暴走少女 根號10是無理數，因為開方開不盡的數是無理數，像根號3，根號5，等等。 數學上，有理數是乙個整數a和乙個正整數b的比，例如3/8，通則為a/b。0也是有理數。有理數是整數和分數的集合，整數也可看做是分母為一的分數。 有理數的小數部分是有限或為無限迴圈的數。不是有理數的實數稱為無理數，即無理數的小數部分是無限不迴圈的數。 無理數，也稱為無限不迴圈小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會迴圈。 常見的無理數有非完全平方數的平方根、π和e（其中後兩者均為超越數）等。無理數的另一特徵是無限的連分數表示式。 擴充套件資料： 一、無理數定義 常見的無理數有：圓周長與其直徑的比值，尤拉數e，**比例φ等等。 可以看出，無理數在位置數字系統中表示（例如，以十進位制數字或任何其他自然基礎表示）不會終止，也不會重複，即不包含數字的子串行。 例如，數字π的十進位制表示從3.14159265358979開始，但沒有有限數字的數字可以精確地表示π，也不重複。 必須終止或重複的有理數字的十進位制擴充套件的證據不同於終止或重複的十進位制擴充套件必須是有理數的證據，儘管基本而不冗長，但兩種證明都需要一些工作。數學家通常不會把「終止或重複」作為有理數概念的定義。 二、有理數的認識 有理數為整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱。正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。 由於任何乙個整數或分數都可以化為十進位制迴圈小數，反之，每乙個十進位制迴圈小數也能化為整數或分數，因此，有理數也可以定義為十進位制迴圈小數。 有理數集是整數集的擴張。在有理數集內，加法、減法、乘法、除法（除數不為零）4種運算通行無阻。 有理數集與整數集的乙個重要區別是，有理數集是稠密的，而整數集是密集的。將有理數依大小順序排定後，任何兩個有理數之間必定還存在其他的有理數，這就是稠密性。整數集沒有這一特性，兩個相鄰的整數之間就沒有其他的整數了。 17樓：匿名使用者 根號10是無理數，因為開方開不盡的數是無理數，像根號3，根號5，等等。 證明：假設√10是有理數，那麼必然存在整數a、b（這裡a和b沒有大於1的公約數）使得√10=a/b。 如果我們對等式兩邊同時平方，我們得 10= a^2/b^2 等價於a^2 = 10b^2 這意味著a^2是乙個偶數。如果a^2是偶數，則a必須是乙個偶數（我們之前已經證明了，如果a是奇數，a乘以它自己還是乙個奇數）。這樣a= 2k，其中k為乙個整數。將2k代入等式。 （2k）^2= 10b2 即4k^2= 10b^2 2k^2= 5b^2 b^2也是乙個偶數。進而b是乙個偶數。我們證明了a、b都是偶數，這就和a、b沒有大於1的公約數相矛盾了。既然假設是有理數導致了矛盾，我們被迫得出結論：是無理數。 擴充套件資料 數學上，有理數是乙個整數a和乙個正整數b的比，例如3/8，通則為a/b。0也是有理數。有理數是整數和分數的集合，整數也可看做是分母為一的分數。 有理數的小數部分是有限或為無限迴圈的數。不是有理數的實數稱為無理數，即無理數的小數部分是無限不迴圈的數。 無理數，也稱為無限不迴圈小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會迴圈。 可以照搬 2是無理數的證明來證明 3是無理數。設a b 3，a b是既約分數 兩邊平方，得a 2 b 2 3,a 2 3b 2那麼 a 2是3的倍數 記作3 a 2 3 a，設a 3k那麼 3k 2 3b 2,9k 2 3b 2,b 2 3k 2所以3 b 2，3 b，a,b都是3的倍數，與a b是... 根號8是無理數。無理數，即非有理數之實數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會迴圈。常見的無理數有大部分的平方根 和e 其中後兩者同時為超越數 等。無理數的另一特徵是無限的連分數表示式。看看下面的分析，能幫到你的話！無理數可以分為四種 1 即含有 的式子，如 ... 反證法 假設根號3是有理 數，那麼一定能表示為乙個分數p q，p q為互素的正整數根號3 p q，3q 2 p 2，說明p必是3的倍數，設為3k則3q 2 9k 2,即q 2 3k 2 由此推出q也必為3的倍數，這和p q為互素的正整數矛盾於是根號3不是有理數 如何證明根號2加根號3再加根號5是無理...為什麼 根號3是無理數，請證明 根號三是無理數
根號8是無理數嗎，怎樣判斷根號7是無理數
怎麼證明根號3是無理數，根號5呢，根號7等