1樓：匿名使用者
1、不存在對正不對正的問題，如上圖，二重積分定義的就是v的體積，顯然不同的積分區域對應的頂面也在變化。
2、2、用極座標和直角座標計算二重積分的本質不同在於對積分區域的劃分方式不同。
(1)如上圖直角座標係對積分區域進行的是平行矩形網格劃分。
因此每個微型柱體的體積dv＝f(x,y)ds＝f(x,y)dxdy有： v＝∫∫ f(x,y)dxdy
(2)而極座標係對積分區域進行的是同心圓+半徑方式的劃分，每個微面積ds其實並不相同，由於微扇形的面積為(r^2/2 * dθ), 對r求微分
得到 ds＝r dr dθ。
因此每個微型柱體的體積dv＝f(x,y)ds＝f(x,y) r dr dθ
根據座標變換公式: x=rcosθ，y＝rsinθ有：dv＝f(x,y)ds＝f(rcosθ, rsinθ) r dr dθ
有： v＝∫∫ f(rcosθ, rsinθ) r dr dθ這就是兩個座標變換公式的由來，因此本質上仍然是一致的。
最後再說積分順序的問題，就是你理解的先求乙個面，再用這個面掃過整個區域，可以這麼理解。
但從積分原理應該這麼理解：
要求乙個幾何體的體積，可以按某種方式將這個幾何體的切成n個薄片，n個薄片的面積加起來再乘以薄片厚度就是體積。積分順序代表切的方向，直角座標和極座標代表切的方式。
舉例說明二重積分的幾何意義？？謝謝！
2樓：鎖芯迷戀
1、本題的
被積函式是乙個頂點在原點的圓錐體，不是圓柱體。
2、如果被積函式的量綱是長度單位，則二重積分為體積；
3、如果被積函式的量綱是pa，則二重積分的意義為計算總壓力；
4、如果被積函式的量綱是kg/m²，則二重積分的意義就是算總質量；
5、如果被積函式的量綱是c/m² ，則二重積分的意義就是算總電量；
、、、、、、
結論：1、二重積分是否有意義，要看被積函式的量綱，由量綱決定是否有物理意義。
2、數學老師出題，一般不會考慮什麼物理模型、量綱，一般均無明確意義。
3、對於數學老師隨意出出來的二重積分題，籠統地講是算體積，其實是錯的。
4、被積函式如果是1，而且這個1不帶任何單位，那二重積分就是算總面積。
5、只要被積函式不是1，一般來說，二重積分沒有明確意義，只是亂積而已。
數學老師出出來的二重積分的題，一般都是為了練習、熟練積分而出的題，
不必認真，只是練習而已。如果你一旦認真起來，無論你的天賦多高，創
造力多強，無論數學老師多爛，都會罵你「鑽牛角尖」，「腦子有問題」。天才
就當成了白痴。
本題的解釋：
1、因為本題的被積函式是圓錐體，假設x、y均有長度量綱，本題的被積函式
的意義是圓錐體上的任何一點，這一點到x-y平面的垂直高度；
2、這個高度乘以x-y平面上的微元面積dxdy，就是乙個細高的立體體積，這個
細高立體的底面在x-y平面上，頂面在圓錐體的側面上。
3、積分的結果就是圓錐體下方到x-y平面的立體體積。
4、這個體積正好等於以圓錐口為頂面，底面在x-y平面上的圓柱的體積，減去
圓錐的體積。也就是樓主題目所問的問題。
5、本題是特例，結果等於圓柱的體積減去圓錐的體積。一般情況下不是這樣。
求二重積分，利用幾何意義
3樓：匿名使用者
拋物面abc的面積s:
∴曲頂柱體的體積v=(4/3)×2=8/3；
事實上，
4樓：匿名使用者
利用幾何意義求二重積分的值就是求曲頂
柱體的體積，本題中的曲頂柱體底面是矩形，曲頂是柱面z=1–x^2,它的母線平行於y軸，就上面蓋了一塊瓦當，想象一下超市賣的長麵包哈哈哈。現在換乙個角度看這個立體，把xoz平面上的一塊側面看成是底面，頂與底面平行，哈，成了普通的平頂柱體，相當於把長麵包立起來，體積是底面積乘以高。只是現在底面是xoz平面上由拋物線z=1–x^2與x軸在相應區間上圍成的曲邊梯形，用定積分求出面積，問題就解決啦。
5樓：張元林張元林
由二重積分的幾何意義知，此二重積分表示半徑為r的上半球的體積，因此
原式=1/2×(4π/3）×r^3=(2πr^3)/3
6樓：匿名使用者
^1畫出積分域先對x後對y積分
原式=s(0,2)dys(1,y+1)siny^2dx=s(0,2)ysiny^2dy=1/2s(0,2)ysiny^2dxdy^2=-1/2cosy^2|(0,2)=(1-cos4)/2
7樓：鹹湛賽清昶
一重積分表示區域面積，二重積分，表示區域體積令z=1-x-y
對x積分表示在xz方向，積分區域的面積
再對y積分，表示這些面積在y方向堆積的體積。
因此，原題為題中三點(z座標為0，即(0，0，0)、(1，0，0)、(0，1，0))與(0，0，1)四點構成的三稜錐的體積
v=1/3
*(1/2*1
*1)*1=1/6
8樓：還我的魚幹
利用幾何意義來答這個二重積分就可以的
一定要採納，謝謝?
9樓：匿名使用者
真情是一輪暖陽，溫暖你那顆潮濕的心；真情是股清泉，洗去你心頭的不悅；真情是黑暗中的一把火，照亮你人生的道路。不久前發生的一件事讓我領悟到真情的真諦，讓我難以忘懷。
高數二重積分的計算題求解？
10樓：放下也發呆
二重積分的計算一般都是有固定的套路的
因為二重積分和偏導數關係 所以一般都是先交換積分次序
二重積分既能算面積又能求體積？那我怎麼知道求的是面積還是體積？ 與三重積分體積有什麼不同？
11樓：洪洪最美麗呢
單從幾何意義上來說，二重積分算的是體積；它的特例，當被積函式為1時，計算結果等效為面積。
幾何上的解釋就是，當高為1時，體積和底面積的數值相等。同理，三重積分在被積函式為1時，其幾何意義才是體積。
二者的區別：
二重積分是在二維區域d上積分，如果把被積函式看做立體的高，得到的是體積；當被積函式為1即高等於1時，這個「體積」退化為面積。
三重積分是在立體區間ω上積分，當被函式為1，即是這個區域的體積。
二重積分怎麼計算？
12樓：人設不能崩無限
化為二次積分。
∫∫(x+y)dxdy＝∫(0～1)dx∫(1～2) (x+y)dy＝∫(0～1) (x＋3/2)dx ＝1/2＋3/2＝2
二重積分是二元函式在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。
平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。
13樓：wuli都靈
把二重積分化成二次積分，也就是把其中乙個變數當成常量比如y，然後只對乙個變數積分，得到乙個只含y的被積函式，再對y積分就行了。你可以找一本高等數學書看看。
你這個題目積分區域中，x、y並不成函式關係，要是積分區域是由比如說1<=x<=2,y=f(x),y=g(x),所圍成的話，那麼就要先對y積分其中上下限就是f(x)、g(x)，要看誰的圖形在上誰就是上限，這時候的x就當做乙個常數來看待。
14樓：pasirris白沙
1、本題的積分方法是：運用平面極座標；
.2、具體積分方法如下，如有疑問，歡迎追問，有問必答；
.3、若點選放大，**將會更加清晰。...
15樓：黃徐公升
r1 對應圓弧，所以 r1=2 ，
r2 對應的是 y=2 這條直線，寫成極座標就是 r*sin(θ)=2 ，所以 r=2/sin(θ)
16樓：椋露地凜
利用極座標計算二重積分，有公式 ∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ ,其中積分區域是一樣的。 i=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2 dy x的積分上限是1,下限0 y的積分上限是x,下限是x2 積分區域d即為直線y=x,和直線y=x2在區間[0，1]所圍成的面積，轉換為極座標後，θ的範圍為[0,π/4],下面計算r的範圍：因為y=x2的極座標方程為：
rsinθ=r2cos2θ r=sinθ/cos2θ 因為直線y=kx和曲線y=x2的交點為(0,0),(k,k2),所以在極座標中r的取值範圍為[0,sinθ/cos2θ],則積分i化為極座標的積分為 i＝∫dθ∫1/√(rcosθ)2+(rsinθ)2rdr =∫dθ∫dr (θ範圍[0,π/4],r範圍[0,sinθ/cos2θ]) =∫(sinθ/cos2θ)dθ(θ範圍[0,π/4]) =∫(-1/cos2θ)dcosθ =|1/cosθ|(θ範圍[0,π/4]) =1/cos(π/4)-1/cos0 =√2-1
17樓：愽
這是利用了二重積分的性質，二重積分可以化為兩個一重積分，因此①式中先對y變數求積分，這時x變數對於y變數來說是常數，所以對y的函式求得原函式後帶入積分限，即可將①式轉化為②式
18樓：漪善幽雪
利用二重積分的定義來計算二重積分顯然是不實際的,二重積分的計算是通過兩個定積分的計算(即二次積分)來實現的。
一、利用直角座標計算二重積分
我們用幾何觀點來討論二重積分 的計算問題。
討論中,我們假定 ；
假定積分區域可用不等式 表示,
其中, 在上連續。
據二重積分的幾何意義可知,的值等於以為底,以曲面為頂的曲頂柱體的體積。
在區間上任意取定乙個點,作平行於面的平面,這平面截曲頂柱體所得截面是乙個以區間為底,曲線為曲邊的曲邊梯形,其面積為
一般地,過區間上任一點且平行於面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為
利用計算平行截面面積為已知的立體之體積的方法,該曲頂柱體的體積為
從而有(1)
上述積分叫做先對y,後對x的二次積分,即先把看作常數,只看作的函式,對計算從到的定積分,然後把所得的結果( 它是的函式 )再對從到計算定積分。
這個先對, 後對的二次積分也常記作
在上述討論中,假定了，利用二重積分的幾何意義,匯出了二重積分的計算公式(1)。但實際上,公式(1)並不受此條件限制,對一般的(在上連續),公式(1)總是成立的。
例如:計算
解:類似地,如果積分區域可以用下述不等式
表示,且函式,在上連續,在上連續,則
(2)顯然,(2)式是先對,後對的二次積分。
二重積分化二次積分時應注意的問題
1、積分區域的形狀
前面所畫的兩類積分區域的形狀具有乙個共同點:
對於i型(或ii型)區域, 用平行於軸(軸 )的直線穿過區域內部,直線與區域的邊界相交不多於兩點。
如果積分區域不滿足這一條件時,可對區域進行剖分,化歸為i型(或ii型)區域的並集。
2、積分限的確定
二重積分化二次積分, 確定兩個定積分的限是關鍵。這裡,我們介紹配置二次積分限的方法 -- 幾何法。
畫出積分區域的圖形(假設的圖形如下 )
在上任取一點,過作平行於軸的直線,該直線穿過區域,與區域的邊界有兩個交點與,這裡的、就是將,看作常數而對積分時的下限和上限；又因是在區間上任意取的,所以再將看作變數而對積分時,積分的下限為、上限為。
【例1】計算,其中是由軸,軸和拋物線在第一象限內所圍成的區域。
類似地,
【例2】計算, 其中是由拋物線及直線所圍成的區域。
【例3】求由曲面及所圍成的立體的體積。
解: 1、作出該立體的簡圖, 並確定它在面上的投影區域
消去變數得一垂直於面的柱面 ,立體鑲嵌在其中,立體在面的投影區域就是該柱面在面上所圍成的區域
2、列出體積計算的表示式
3、配置積分限, 化二重積分為二次積分並作定積分計算
而 由,的對稱性有
所求立體的體積為
二、利用極座標計算二重積分
1、變換公式
按照二重積分的定義有
現研究這一和式極限在極座標中的形式。
用以極點為中心的一族同心圓 以及從極點出發的一族射線 ,將剖分成個小閉區域。
除了包含邊界點的一些小閉區域外,小閉區域的面積可如下計算
其中,表示相鄰兩圓弧半徑的平均值。
(數學上可以證明: 包含邊界點的那些小閉區域所對應項之和的極限為零, 因此, 這樣的一些小區域可以略去不計)
在小區域上取點,設該點直角座標為,據直角座標與極座標的關係有於是即
由於也常記作, 因此,上述變換公式也可以寫成更富有啟發性的形式
(1)(1)式稱之為二重積分由直角座標變數變換成極座標變數的變換公式,其中,就是極座標中的面積元素。
(1)式的記憶方法:
2、極座標下的二重積分計算法
極座標系中的二重積分, 同樣可以化歸為二次積分來計算。
【情形一】積分區域可表示成下述形式
其中函式, 在上連續。
則【情形二】積分區域為下述形式
顯然,這只是情形一的特殊形式( 即極點在積分區域的邊界上 )。
故【情形三】積分區域為下述形式
顯然,這類區域又是情形二的一種變形( 極點包圍在積分區域的內部 ),可剖分成與,而故則
由上面的討論不難發現, 將二重積分化為極座標形式進行計算, 其關鍵之處在於: 將積分區域用極座標變數表示成如下形式
下面通過例子來介紹如何將區域用極座標變數來表示。
【例4】將下列區域用極座標變數表示
1、2、
3、ê先畫出區域的簡圖, 據圖確定極角的最大變化範圍；
ë再過內任一點作射線穿過區域,與區域的邊界有兩交點,將它們用極座標表示,這樣就得到了極徑的變化範圍。
注: 本題不能利用直角座標下二重積分計算法來求其精確值。
利用此題結果可求出著名概率積分 。
而被積函式滿足 ,從而以下不等式
成立，再利用例二的結果有,,
於是不等式可改寫成下述形式
故當時有 ,
即 。
3、使用極座標變換計算二重積分的原則
(1)、積分區域的邊界曲線易於用極座標方程表示( 含圓弧,直線段 )；
(2)、被積函式表示式用極座標變數表示較簡單( 含, 為實數 )。
【例6】計算
解此積分區域為
區域的簡圖為
該區域在極座標下的表示形式為
二重積分計算，二重積分怎麼計算？
拿到二bai重積分的題 目，分du以下幾步解題 第一步，畫zhi出積分區域dao，此題中是乙個圓的內內部。容 第二步，選取方法，可以直接化成累次積分，也可以進行換元，極座標代換，此題中利用極座標代換。第三步，求出累次積分，需要注意的是雅克比行列式不能漏了。第四步，得出結論。因為二重積分定義的幾何意義...
二重積分面積計算問題,二重積分面積計算問題
解 分享一種解法。設x cos y sin 4 3 4，0 2sin 原式 4,3 4 sin d 0,2sin d 2 4,3 4 sin d 2 4,3 4 1 cos d cos 5 2 3。供參考。為什麼二重積分可以算面積 為什麼二重積分算面積是因為 二重積分的幾何意義是當z值為正時的曲頂柱...
二重積分的幾何意義,二重積分的幾何意義為什麼
被積函式表示半徑為3的上半球，積分區域為球的大圓，所以積分的幾何意義為半徑為3的半球的體積，根據球的體積公式可知的結果為 1 2 4 3 3 3 18 積分過程可用極座標簡化 通俗明了地說,二重積分求的是體積.我們知道,一重積分求的是面積,二重積分就是無數個單個面積的疊加,就是體積.二重積分的幾何意...