二重積分面積計算問題,二重積分面積計算問題

2021-03-04 06:23:54 字數 3449 閱讀 7759

1樓:巴山蜀水

解: 分享一種解法。設x=ρcosθ,y=ρsinθ。∴π/4≤θ≤3π/4,0≤ρ≤2sinθ。

∴原式=∫(π/4,3π/4)sinθdθ∫(0,2sinθ)ρdρ=2∫(π/4,3π/4)sin³θdθ=-2∫(π/4,3π/4)(1-cos²θ)d(cosθ)=(5√2)/3。

供參考。

為什麼二重積分可以算面積

2樓:秘金生閭春

為什麼二重積分算面積是因為:二重積分的幾何意義是當z值為正時的曲頂柱體的體積,微元相當於投影面積。

設二元函式z=f(x,y)定義在有界閉區域d上,將區域d任意分成n個子域δδi(i=1,2,3,…,n),並以δδi表示第i個子域的面積.在δδi上任取一點(ξi,ηi),作和limn→∞

(n/i=1

σ(ξi,ηi)δδi).如果當各個子域的直徑中的最大值λ趨於零時,此和式的極限存在,則稱此極限為函式f(x,y)在區域d上的二重積分,記為∫∫f(x,y)dδ,即

∫∫f(x,y)dδ=limλ

→0(σf(ξi,ηi)δδi)

這時,稱f(x,y)在d上可積,其中f(x,y)稱被積函式,f(x,y)dδ稱為被積表示式,dδ稱為面積元素,

d稱為積分域,∫∫稱為二重積分號.

同時二重積分有著廣泛的應用,可以用來計算曲面的面積,平面薄片重心,平面薄片轉動慣量,平面薄片對質點的引力等等。此外二重積分在實際生活,比如無線電中也被廣泛應用。

性質1:(積分可加性) 函式和(差)的二重積分等於各函式二重積分的和(差),即:∫∫

3樓:獨吟獨賞獨步

因為二重積分定義的幾何意義就是z值為正時曲頂柱體的體積,微元相當於 投影面積,被積函式相當於高。那麼如果裡面的被積函式值為1,就說明這個柱體的高被視為很小的定值,它相當於乙個平面薄板,這個時候二重積分算的就是這個平面薄板的面積,也相當於它的體積。

4樓:張旺山

高很小值不代表就可以取1,這裡的1是為了避開高的存在,就像可以用三重積分求體積一樣,本來三重積分是用來求質量的,但是被積函式為1的時候其實避開了密度,體積乘以密度1獲得的質量的數值和體積是一樣的。放在二重積分之下,就是讓積域乘以高度1,獲得與積域面積數值相同的體積,儘管單位不一樣,可是數值上和積域面積相同。

二重積分可以計算面積嗎? 它不是計算體積的嗎?

5樓:康伯偉

一樓的說法不對!

一重積分,可以計算長度,可以計算面積,也可以計算體積(最典型的是旋轉體的體積);

二重積分,可以計算面積,也可以計算體積。

三重積分,可以計算體積。

具體如何,一看被積函式,二看積分限怎麼確定。

方法是活的,關鍵在於如何運用。

6樓:需字

§9.3 二重積分的應用

定積分應用的元素法也可推廣到二重積分,使用該方法需滿足以下條件:

1、所要計算的某個量 對於閉區域 具有可加性(即:當閉區域 分成許多小閉區域 時, 所求量 相應地分成許多部分量 ,且 )。

2、在 內任取乙個直徑充分小的小閉區域 時, 相應的部分量 可近似地表示為 , 其中 , 稱 為所求量 的元素, 並記作 。

(注: 的選擇標準為: 是 直徑趨於零時較 更高階的無窮小量)

3、所求量 可表示成積分形式

一、曲面的面積

設曲面 由方程 給出, 為曲面 在 面上的投影區域,函式 在 上具有連續偏導數 和 ,現計算曲面的面積 。

在閉區域 上任取一直徑很小的閉區域 (它的面積也記作 ),在 內取一點 ,對應著曲面 上一點 ,曲面 在點 處的切平面設為 。 以小區域 的邊界為準線作母線平行於 軸的柱面, 該柱面在曲面 上截下一小片曲面,在切平面 上截下一小片平面,由於 的直徑很小,那一小片平面面積近似地等於那一小片曲面面積。

曲面 在點 處的法線向量( 指向朝上的那個 )為

它與 軸正向所成夾角 的方向余弦為

而所以這就是曲面 的面積元素, 故

故【例1】求球面 含在柱面 ( ) 內部的面積。

解:所求曲面在 面的投影區域

曲面方程應取為 , 則

,曲面在 面上的投影區域 為

據曲面的對稱性,有

若曲面的方程為 或 ,可分別將曲面投影到 面或 面,設所得到的投影區域分別為 或 ,類似地有

或二、平面薄片的重心

1、平面上的質點系的重心

其質點系的重心座標為

,2、平面薄片的重心

設有一平面薄片,佔有 面上的閉區域 ,在點 處的面密度為 ,假定 在 上連續,如何確定該薄片的重心座標 。

這就是力矩元素,於是

又平面薄片的總質量

從而,薄片的重心座標為

特別地,如果薄片是均勻的,即面密度為常量,則

十分顯然, 這時薄片的重心完全由閉區域的形狀所決定, 因此, 習慣上將均勻薄片的重心稱之為該平面薄片所佔平面圖形的形心。

【例2】設薄片所佔的閉區域 為介於兩個圓 ,

( )之間的閉區域,且面密度均勻,求此均勻薄片的重心(形心)。

解: 由 的對稱性可知:

而 故

三、平面薄片的轉動慣量

1、平面質點系對座標軸的轉動慣量

設平面上有 個質點, 它們分別位於點 處, 質量分別為 。

設質點系對於 軸以及對於 軸的轉動慣量依次為

2、平面薄片對於座標軸的轉動慣量

設有一薄片,佔有 面上的閉區域 ,在點 處的面密度為 , 假定 在 上連續。 現要求該薄片對於 軸、 軸的轉動慣量 , 。

與平面薄片對座標軸的力矩相類似,轉動慣量元素為

【例3】求由拋物線 及直線 所圍成的均勻薄片(面密度為常數 )對於直線 的轉動慣量。

解: 轉動慣量元素為

四、平面薄片對質點的引力

設有一平面薄片,佔有 面上的閉區域 ,在點 處的面密度為 ,假定 在 上連續,現計算該薄片對位於 軸上點 處的單位質量質點的引力。

於是,薄片對質點的引力 在三個座標軸上的分力 的力元素為故

7樓:匿名使用者

二重積分也可以計算體積的

8樓:匿名使用者

一樓《angel說愛我》應該是初學者,還沒有搞懂積分是怎麼回事。

二樓《nbsuns》的說法,可以接受。

三樓《康伯偉》說的太棒了!

鑑定完畢!

9樓:angel說愛我

二重積分就是計算面積的 不是計算體積的

三重積分是計算體積的

二重積分計算出來的是體積還是面積

10樓:木沉

一般說來,二重積分計算的是面積。

但也可以用來計算體積。

另外,有些積分你怎麼說他是面積還是體積呢?

就像乙個數1,可以是1釐公尺,這是長度。可以是1乘以1,成了面積。也可以是1乘1乘1,這就成體積了。要靈活會變通啊!

二重積分計算,二重積分怎麼計算?

拿到二bai重積分的題 目,分du以下幾步解題 第一步,畫zhi出積分區域dao,此題中是乙個圓的內內部。容 第二步,選取方法,可以直接化成累次積分,也可以進行換元,極座標代換,此題中利用極座標代換。第三步,求出累次積分,需要注意的是雅克比行列式不能漏了。第四步,得出結論。因為二重積分定義的幾何意義...

二重積分怎麼算面積啊?怎麼區分二重積分算的是面積還是體積?謝謝謝謝

如果被積函式是1,就可以理解為面積,否則就是體積 二重積分既能算面積又能求體積?那我怎麼知道求的是面積還是體積?與三重積分體積有什麼不同?單從幾何意義上來說,二重積分算的是體積 它的特例,當被積函式為1時,計算結果等效為面積。幾何上的解釋就是,當高為1時,體積和底面積的數值相等。同理,三重積分在被積...

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