abcd為不全相等的正數,求證1 a 2 1 b 2 1 c 2 1 d

2022-05-27 14:35:03 字數 3882 閱讀 2731

1樓:明天爽歪歪

由a^2+b^2.=2ab得 1/a^2+1/b^2>=2*(1/a)*(1/b)

同樣 1/b^2+1/c^2>=2*1/bc1/c^2+1/d^2>=2*1/cd

1/d^2+1/a^2>=2*1/da

四個式子相加,再兩邊都除以2就得到了

如果你學過柯西不等式得話就簡單了,選講內容裡的吧(1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2)*(1/b^2+1/c^2+1/d^2+1/a^2)>=(1/ab+1/bc+1/cd+1/da)^2

兩邊的平方去掉就是

當然如果你們講過排序不等式的話,那左邊是順序和,是最大的

2樓:匿名使用者

2/a^2+2/b^2+2/c^2+2/d^2=(1/a^2+1/b^2)+(1/b^2+1/c^2)+(1/c^2+1/d^2)+(1/d^2+1/a^2)

>2√1/a^2b^2+2√1/b^2c^2+2√1/c^2d^2+2√1/d^2a^2

=2/|ab|+2/|bc|+2/|cd|+2/|da|=2/ab+2/bc+2/cd+2/da

故1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2>1/ab+1/bc+1/cd+1/da證畢

已知a,b,c是不全相等的正數,求證:2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b).

3樓:匿名使用者

推廣1 如果a、b是正數,那麼an+bn≥an-1b+abn-1(n∈n且n≥2)(當且僅當a=b時取「=」號).

如果將a2+b2≥2ab寫成a2+b2≥a1b1+a1b1,結合a3+b3≥a2b+ab2,略加比較很容易聯想到上面的結論.其證明也是很簡單的.

an+bn-(an-1b+abn-1)=an-1(a-b)+bn-1•(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1),

∵ a、b為正數,∴ a-b與an-1-bn-1同號或同時為0,即(a-b)(an-1-bn-1)≥0,

∴ an+bn≥an-1b+abn-1(當且僅當a=b時取「=」號).

利用這一結論,證明a3+b3+c3≥3abc(a>0,b>0,c>0),較之原教材所採用的方法,不論是方法的設計(突破),還是化簡的過程,都要自然、容易,而且緊緊圍繞著a2+b2≥2ab這一重要結論.

進一步研究還會發現,上述題2與題1是有些不同的,因此有更一般的結論:

推廣2 如果a、b是正數,n∈n且n≥2,那麼an+bn≥an-x�bx+axbn-x(x∈n,且1≤x≤int(n/2),其中int(n)是指不超過n的最大整數)(當且僅當a=b時取「=」號).

如,已知a、b是正數,則

a4+b4≥2a2b2; a4+b4≥a3b+ab3;

a5+b5≥a4b+ab4; a5+b5≥a3b2+a2b3;

a6+b6≥a5b+ab5;a6+b6≥a4b2+a2b4;

a6+b6≥2a3b3;a7+b7≥a6b+ab6;a7+b7≥a5b2+a2b5;a7+b7≥a4b3+a3b4.

當指數超過3時,根據推廣2可以得到多個不等式.利用這些不等式,能較易證明一些不等式.如,若x、y為正數,則x4+y4≥(1/2)xy(x+y)2.比較題1和題2不等式的右邊,進一步研究又可得到:

推廣3 如果a、b是正數,n∈n且n≥2,那麼

an+bn≥an-1b+abn-1≥an-2b2+a2bn-2≥an-3b3+a3bn-3…(當且僅當a=b時取「=」號),即按a的降冪排列,或者按b的公升冪排列.

如,若a>0,b>0,則a7+b7≥a6b+ab6≥a5b2+a2b5≥a4b3+a3b4.

對於a+b≥2 ,若將 看成a(1/2)b(1/2),則可以得到另一種形式的推廣:

推廣4 如果a、b是正數,n∈n*,p>0,q>0,且p+q=n,那麼an+bn≥aqbq+aqbp(當且僅當a=b時取「=」號).

證明:an+bn-(apbq+aqbp)=ap+q+bp+q-apbq-aqbp=bp+q〔(a/b)p-1〕〔(a/b)q-1〕.

①若a=b>0,則(a/b)=1,此時an+bn=apbq+aqbp;� ②若a>b>0,則(a/b)>1,此時(a/b)p>1,(a/b)q>1,所以an+bn>apbq+aqbp;

③若0<a<b,則0<(a/b)<1,此時0<(a/b)p<1,0<(a/b)q<1,所以an+bn>apbq+aqbp.

因此,an+bn≥apbq+aqbp(當且僅當a=b時取「=」號)

例如,設x∈r+,n∈n,求證xn+x-n≥xn-1+x1-n.

證明:令a=x>0,b=x-1>0,則

xn+x-n=an+bn≥an-(1/2)b(1/2)+a(1/2)bn-(1/2)=xn-(1/2)•x-(1/2)+x(1/2)x-(n-(1/2))

=xn-1+x1-n.

已知a、b、c為不全相等的正數,且abc=1,求證:√a+√b+√c<1/a+1/b+1/c

4樓:匿名使用者

右邊,把1換成abc

這樣右邊=bc+ac+ab=1/2*(2bc+2ac+2ab)=1/2*[(ab+ac)+(ba+bc)+(ca+cb)]=1/2*[a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)]>=1/2*[a*2*根號(bc)+b*2*根號(ac)+c*2*根號(ab)]=a*根號(bc)+b*根號(ac)+c*根號(ab)=a*根號(1/a)+b*根號(1/b)+c*根號(1/c)=根號a+根號b+根號c

因為abc不相等,所以a+c>=2*根號ac,b+c>=2*根號bc,b+a>=2*根號ba,等號不同時取得,所以原式得證

5樓:秘小你

證明 :由題意知 右邊=bc+ac+ab =(bc+ac)/2+(bc+ab)/2+(ac+ab)/2>=√c√abc+√b√abc+√c√abc

=√a+√b+√c 當且僅當a=b=c時 等號成立 又abc不全相等 所以 不能取等號

即 :√a+√b+√c<1/a+1/b+1/c

6樓:匿名使用者

右邊的1用根號abc代掉,再用排序不等式就可以了

設a、b、c為不全相等的正數,且abc=1。求證:ab+bc+ca>√a+√b+√c。

7樓:匿名使用者

∵a、b、c是有序的正數,∴1/√a、1/√b、1/√c也是有序的正數,

由排序不等式:順序和不小於亂序和,有:

(1/√a)(1/√a)+(1/√b)(1/√b)+(1/√c)(1/√c)

≧(1/√a)(1/√b)+(1/√b)(1/√c)+(1/√a)(1/√c),

∴1/a+1/b+1/c≧1/√(ab)+1/√(bc)+1/√(ac)。

∵abc=1,∴√(abc)=1。

∴(abc)/a+(abc)/b+(abc)/c

≧√(abc)/√(ab)+√(abc)/√(bc)+√(abc)/√(ac),

∴bc+ac+ab≧√c+√a+√b。

考慮到a、b、c不全相等,∴ab+bc+ac>√a+√b+√c。

8樓:丶最初的天空丨

證明 :由題意知 右邊=bc+ac+ab =(bc+ac)/2+(bc+ab)/2+(ac+ab)/2>=√c√abc+√b√abc+√c√abc

=√a+√b+√c 當且僅當a=b=c時 等號成立 又abc不全相等 所以 不能取等號

即 :√a+√b+√c<1/a+1/b+1/c

9樓:匿名使用者

a、b、c為不全相等的正數,且abc=1

ab+bc>2√ab^2c =2√b (1)bc+ca>2√abc^2=2√c (2)ab+ca>2√a^2bc=2√a (3)(1)+(2)+(3)得2ab+2bc+2ca>2√a+2√b+2√c

ab+bc+ca>√a+√b+√c。

a,b,c,為正數,且abca的1,求accbba的值

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假設 角dcq 角bcp pq c,則 tg 角pcq tg 90 ctg 1 tg tg tg tg 在 cdq中,由 cd 1,知 dq tg aq 1 tg 在 cbp中,由 bc 1,知 bp tg ap 1 tg 因為 apq的周長為2,所以 由 pq 2 aq ap 知 c 2 1 tg...