1樓：沁前遊子威
解：設三次函式為 ax^3 + bx^2 + cx +d = 0；
∵ x = 0是零點
∴ d = 0
即方程可簡化為 ax^3 +bx^2 + cx = 0;再把其餘兩個零點帶入得到乙個 三元二次不定式 -a+b-c=0,9a+3b+c=0. 推出 b = -2a, c = -3a.
所以該函式可以簡化為 f(x) = a(x^3-2x^2-3x)
(1)把f(x)帶入得 ax^2+2(1-a)x+4a = 0; △ = 4(1-a)^2 -16a^2 = 0 解得 a1 = -1 ,a2 = 1/3;
(2)f(x) = a(x^3 - 2x^2 - 3x) + 2x^2
兩端求導得 df(x)/dx = a(3x^2-4x-3)+4x
易知a≠0，否則f(x)就不是三次函式。
∵在區間（-∞，3/a)內單調遞減；
∴影象 g(x) = a(3x^2-4x-3)+4x 必然是開口向下，即a<0.
然後控制兩個條件①x=3/a在對稱軸的左邊；②f(3/a)≤0。
得 ①3/a≤(4a-4)/6a;② 39/a-3a-12≤0。
由①得a∈（-∞，11/2],由②得a∈[-2-√17,√17-2].然後綜上所得
a∈（-∞，0）∩（-∞，11/2]∩[-2-√17,√17-2] = [-2-√17,0).
（3）證明：
把f(x) = a(x^3-2x^2-3x)和a = -1帶入得
方程為2x^3+x^2-4x-4=0.
令函式 h(x) = 2x^3+x^2-4x-4
則dh(x)/dx = 6x^2+2x-4;
令dh(x)/dx = 0解得x1 = -1,x2 = 2/3.
在x1左端時h(x)遞增，在（x1,x2)區間內函式遞減，在x2右端時函式又遞增。
把x=-1帶入得h(-1)=-1為極大值點，所以函式整個影象只有1個零點，即方程
h(x)=0只有乙個實數根，由此得證。
2樓：
467240~650670
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