幾個初三上學期很難的數學題(要答案)最好是奧數題

2021-09-02 08:34:09 字數 5599 閱讀 8238

1樓:淡紫長髮

七、(本題滿分7分)

23.已知:關於x的方程 有兩個實數根 ,關於y的方程 有兩個實數根 ,且 。當 時,求m的取值範圍。

八、(本題滿分8分)

24.已知:ab是半圓o的直徑,點c在ba的延長線上運動(點c與點a不重合),以oc為直徑的半圓m與半圓o交於點d,∠dcb的平分線與半圓m交於點e。

(1)求證:cd是半圓o的切線(圖1);

(2)作ef⊥ab於點f(圖2),猜想ef與已有的哪條線段的一半相等,並加以證明;

(3)在上述條件下,過點e作cb的平行線交cd於點n,當na與半圓o相切時(圖3),求∠eoc的正切值。

圖1圖2

圖323.解:∵關於x的方程 有兩個實數根x1和x2

解得 ①

∵關於y的方程 有兩個實數根

解得0≤n≤4

由根與係數的關係得

整理,得

由二次函式 的圖象可得

當 ②

由①、②得m的取值範圍是

八、24.(1)證明:如圖1,鏈結od,則od為半圓o的半徑

圖1∵oc為半圓m的直徑

∴∠cdo=90°

∴cd是半圓o的切線。

(2)猜想: 。

證法三:如圖,鏈結od、me,od、me相交於點h

∵ce平分∠dcb

∴ ∴me⊥od,oh

∵ef⊥co ∴∠mfe=∠mho=90°

∵∠emf=∠omh,me=mo

∴△mef≌△moh

∴ef=oh ∴

(3)解:如圖3,延長oe交cd於點k

圖3設of=x,ef=y,則oa=2y

∵ne//cb,ef⊥cb,na切半圓o於點a

∴四邊形afen是矩形

∴ 同(2)證法一,得e是ok的中點

∴n是ck的中點

∴rt△cef∽rt△eof

∴ ∴解得 ∴tan∠eoc=3

25.(1)解:∵拋物線 與x軸交於a、b兩點

∴關於x的方程 有兩個不相等的實數根

解得 ∵點a在點b的左邊,且m>0,∴a(-m,0),b(2m,0)

解法二:如圖2,過點o作og//ac交be於點g

圖2∴△ced∽△ogd ∴

∵dc=do ∴ce=og

∵og//ac ∴△bog∽△bae ∴

∵ob=2m,ab=3m ∴

(3)解法一:如圖3

圖3∵點c在拋物線上(與點a不重合),c、a兩點到y軸的距離相等

∴c(m,2m2)

過點e作dc邊上的高ep,過點a作oc邊上的高aq

∴ep//aq

∴△cep∽△caq

∴ ∵∴ 解得m=2

∴拋物線的解析式為

點c的座標為(2,8),點b的座標為(4,0)

分別過點d、c作x軸的垂線,交x軸於點m、n

∴dm//cn

∵d是oc的中點

∴ ∴d點的座標為(1,4)

設直線be的解析式為

∴直線be的解析式為

解法二:如圖4,鏈結oe

圖4∵d是oc的中點

∴ 以下同(3)解法一

23.如圖①,op是∠mon的平分線,請你利用該圖形畫一對以op所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法,解答下列問題:

(1)如圖②,在△abc中,∠acb是直角,∠b=60°,ad、ce分別是∠bac、∠bca的平分線,ad、ce相交於點f。請你判斷並寫出fe與fd之間的數量關係;

(2)如圖③,在△abc中,如果∠acb不是直角,而(1)中的其它條件不變,請問,你在(1)中所得結論是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由。

24.已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交於點a(0,3),與x軸分別交於b(1,0)、c(5,0)兩點。

(1)求此拋物線的解析式;

(2)若點d為線段oa的乙個三等分點,求直線dc的解析式;

(3)若乙個動點p自oa的中點m出發,先到達x軸上的某點(設為點e),再到達拋物線的對稱軸上某點(設為點f),最後運動到點a。求使點p運動的總路徑最短的點e、點f的座標,並求出這個最短總路徑的長。

25.我們給出如下定義:若乙個四邊形的兩條對角線相等,則稱這個四邊形為等對角線四邊形。請解答下列問題:

(1)寫出你所學過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱;

(2)**:當等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時,這對60°角所對的兩邊之和與其中一條對角線的大小關係,並證明你的結論。

23.解:(1)fe與fd之間的數量關係為fe=fd。

(2)答:(1)中的結論fe=fd仍然成立。

證法一:如下圖,在ac上擷取ag=ae,鏈結fg

因為∠1=∠2,af為公共邊

可證△aef≌△agf

所以 ∠afe=∠afg,fe=fg

由∠b=60°,ad、ce分別是∠bac、∠bca的平分線

可得∠2+∠3=60°

所以∠afe=∠cfd=∠afg=60°

所以∠cfg=60°

由∠3=∠4及fc為公共邊,可得△cfg≌△cfd

所以fg=fd

所以fe=fd

24.解:(1)根據題意,c=3

所以 解得

所以 拋物線解析式為

(2)依題意可得oa的三等分點分別為(0,1),(0,2)

設直線cd的解析式為

當點d的座標為(0,1)時,直線cd的解析式為

當點d的座標為(0,2)時,直線cd的解析式為

(3)如圖,由題意,可得

點m關於x軸的對稱點為

點a關於拋物線對稱軸 的對稱點為a'(6,3)

鏈結a'm'

根據軸對稱性及兩點間線段最短可知,a'm'的長就是所求

點p運動的最短總路徑的長

所以a'm'與x軸的交點為所求e點,與直線x=3的交點為所求f點。

可求得直線a'm'的解析式為

可得e點座標為(2,0),f點座標為(3, )

由勾股定理可求出

所以點p運動的最短總路徑(me+ef+fa)的長為 。

25.解:(1)略。

(2)結論:等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時,這對60°角所對的兩邊之和大於或等於一條對角線的長。

已知:四邊形abcd中,對角線ac、bd交於點o,ac=bd

且∠aod=60°

求證:bc+ad≥ac

證明:過點d作df‖ac,在df上擷取de,使de=ac

鏈結ce、be

故∠edo=60°,四邊形aced是平行四邊形

所以△bde是等邊三角形,ce=ad

所以de=be=ac

①當bc與ce不在同一條直線上時(如下圖)

在△bce中,有bc+ce>be

所以bc+ad>ac

②當bc與ce在同一條直線上時(如下圖)

則bc+ce=be

因此 bc+ad=ac

綜合①、②,得 bc+ad≥ac。

即等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時,這對60°角所對的兩邊之和大於或等於其中一條對角線的長。

23. 如圖,已知

(1)請你在 邊上分別取兩點 、 ( 的中點除

外),鏈結 、 ,寫出使此圖中只存在兩對面

積相等的三角形的相應條件,並表示出面積相等的

三角形;

(2)請你根據使(1)成立的相應條件,

證明 .

23. 如圖,已知

(1)請你在 邊上分別取兩點 、 ( 的中點除

外),鏈結 、 ,寫出使此圖中只存在兩對面

積相等的三角形的相應條件,並表示出面積相等的

三角形;

(2)請你根據使(1)成立的相應條件,

證明 .

解:(1)相應的條件是: bd = ce ≠ de ;

兩對面積相等的三角形分別是: △abd和△ace,△abe和△acd .

證法2:如圖,分別過點a、e作cb、ca的平行線,兩線交於f點,ef與ab交於g點,鏈結bf. 則四邊形feca是平行四邊形,所以 fe = ac,af = ce.

因為 bd = ce

所以 bd = af

所以 四邊形fbda是平行四邊形

所以 fb = ad

在△age中,ag + eg >ae

在△bfg中,bg + fg >fb

可推得 ag + eg + bg + fg >ae + fb

所以 ab + ac >ad + ae

24. 在平面直角座標系 中,拋物線 經過 , 兩點.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)設拋物線的頂點為 ,將直線 沿 軸向下平移兩個單位得到直線 ,直線 與拋物線的對稱軸交於 點,求直線 的解析式;

(3)在(2)的條件下,求到直線 、 、 距離相等的點的座標.

解:(1)由題意可得

故拋物線的解析式為: .

(2)由 可知拋物線的頂點座標為b( ),故c( ),且直線 過原點. 設直線 的解析式為 ,則有 . 故直線 的解析式為 .

(3)到直線ob、oc、bc距離相等的點有四個.

由勾股定理可知ob=oc=bc=2,故△obc為等邊三角形,四邊形abco是菱形,且∠bco=60°,連線ac交x軸於一點m,易證點m到ob、oc、bc的距離相等. 由點a在∠bco的平分線上,故它到bc、co的距離相等均為 ,

同時不難計算出點a到ob的距離為 ,故點a也算其中乙個. 同理,不難想到向左、向下可以分別作與abco全等的菱形(如圖所示,其中△obc為新菱形的一半),此時必然存在兩個點,使得它到直線ob、oc、bc的距離相等.

此四個點的座標分別為:m( )、a(0,2)、(0,-2)、( ).

25. 我們知道:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形,類似地,我們定義:至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形.

(1)請寫出乙個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱;

(2)如圖,在 中,點 、 分別在 、 上,設 、 相交於 ,若 , ,請你寫出圖中乙個與 相等的角,並猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形;

(3)在 中,如果 是不等於60º的銳角,點 、 分別在 、 上,且 ,**:滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形,並證明你的結論.

解:(1)平行四邊形、等腰梯形等滿足條件的即可.

(2)與∠a相等的角是∠bod(或∠coe)

四邊形dbce是等對邊四邊形.

(3)此時存在等對邊四邊形dbce.

證明1:如圖,作cg⊥be於g點,作bf⊥cd交cd的延長線於f點.

∵∠dcb=∠ebc= ∠a,bc為公共邊

∴△bgc≌△cfb

∴bf=cg

∵∠bdf=∠abc+∠dcb=∠abe+∠ebc+∠dcb=∠abe+∠a

∠gec=∠abe+∠a

∴△bdf≌△ceg

∴bd=ce

故四邊形dbce是等對邊四邊形.

證明2:如圖,在be上取一點f,使得bf=cd,連線cf.

易證△bcd≌△cbf,故bd=cf,∠fcb=∠dbc.

∵∠cfe=∠fcb+∠cbf=∠dbc+∠cbf=∠abe+2∠cbf=∠abe+∠a

∠cef=∠abe+∠a

∴cf=ce

∴bf=ce

故四邊形dbce是等對邊四邊形.

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