乙個可分的空間什麼時候是完全有界的

1樓：網友

要確定乙個可分的空間何時完全有界，我們需要了解有界空間的定義和基本概念。有界空間是乙個集合，其元素可以被測量（例如，通過數軸上的點），且具有有限數量的上限或下限。有界空間的乙個關鍵特徵是它的元素被稱為有界的，若且唯若它們可以被表示為慧梁乙個有限數量的上確界或下確界。

乙個可分的空間是指，其中任意兩個元素的距離都小於任意給定的正數。可分空間的概念通常用於度量空間、集合和拓撲學等領域。

要確定乙個可分的空間何時完全有界，我們需要知道空間的拓撲結構和度量。在某些掘襲情況下，空間的度量結構可能表明它是完全有界的，而在其他情況下，可能需要使用拓撲結構來得出結論。

舉個例子，考慮乙個實前散運數軸，它是乙個可分空間，因為可以將它劃分為無限個無限小的區域。然而，實數軸本身並不是完全有界的，因為它的任何實數點都是無限接近零但不等於零的。

2樓：一天天一天天顧

乙個可分的空間是完全有界的，當兄臘且僅當它的每個子集都是有界的。這意味著對於任何給定的正實數，存在乙個有限的半徑，使得空間中的所有點都可以被包含在以該半徑為半徑的球中。這個半徑可以是任意小的正實數。

這個結論可以通過使用完全有界性的等價定義來證明。乙個空間是完全有界的，若且唯若它的每個序列都有乙個cauchy子序列。如果乙個空間是可分配皮的，那麼它包含乙個可數的稠密子集。

因此，對於任何給定的序列，我們可以從該稠密子集中選擇乙個子序列，使得該子序列是cauchy序列。由於空間是完全有界的，所以該子序列有乙個收斂的極限。因此，該序列有乙個收斂培塵差的子序列，這意味著空間是完全有界的。

總之，乙個可分的空間是完全有界的，若且唯若它的每個子集都是有界的。這個結論可以通過使用完全有界性的等價定義來證明。

有界的距離空間中的有界：

3樓：渴少敲句把鈴

在乙個度量空間（x,ρ）中的集合a，如果a的直徑d(a)是有限的：

d(a)=max≤m ，其中任意x,y∈a；

就稱a為有界集，即a是有界的。換句話說：乙個集合是有界的，若且唯若它被包含在乙個半徑有限的開球內。

若乙個函式無限趨近於乙個常數（即收斂函式），則必有界。但不趨近於乙個常數的函式（即發散函式）亦可為有界，如：y=sin(x)。

故：有界為收斂的必要條件。