什麼是容斥原理

2021-06-29 11:15:13 字數 4230 閱讀 7352

1樓:幸運的森林深處

容斥原理是在計數時,必須注意沒有重複,沒有遺漏。為了使重疊部分不被重複計算,人們研究出一種新的計數方法。

這種方法的基本思想是:先不考慮重疊的情況,把包含於某內容中的所有物件的數目先計算出來,然後再把計數時重複計算的數目排斥出去,使得計算的結果既無遺漏又無重複,這種計數的方法稱為容斥原理。

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容斥原理舉例:

例如:一次期末考試,某班有15人數學得滿分,有12人語文得滿分,並且有4人語、數都是滿分,那麼這個班至少有一門得滿分的同學有多少人。

分析:依題意,被計數的事物有語、數得滿分兩類,“數學得滿分”稱為“a類元素”,“語文得滿分”稱為“b類元素”,“語、數都是滿分”稱為“既是a類又是b類的元素”,“至少有一門得滿分的同學”稱為“a類和b類元素個數”的總和。為15+12-4=23。

2樓:傾蓋如故

這種方法的基本思想是:先不考慮重疊的情況,把包含於某內容中的所有物件的數目先計算出來,然後再把計數時重複計算的數目排斥出去,使得計算的結果既無遺漏又無重複,這種計數的方法稱為容斥原理。

如果被計數的事物有a、b、c三類,那麼,a類和b類和c類元素個數總和= a類元素個數+ b類元素個數+c類元素個數—既是a類又是b類的元素個數—既是a類又是c類的元素個數—既是b類又是c類的元素個數+既是a類又是b類而且是c類的元素個數。

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兩個集合的容斥關係公式:a∪b =|a∪b| = |a|+|b| - |a∩b |(∩:重合的部分)

三個集合的容斥關係公式:|a∪b∪c| = |a|+|b|+|c| - |a∩b| - |b∩c| - |c∩a| + |a∩b∩c|

簡單來說要計算幾個集合並集的大小,要先將所有單個集合的大小計算出來,然後減去所有兩個集合相交的部分,再加回所有三個集合相交的部分,再減去所有四個集合相交的部分,依此類推,一直計算到所有集合相交的部分。

3樓:zc盛

容斥原理

容斥原理

在計數時,為了使重疊部分不被重複計算,人們研究出一種新的計數方法,這種方法的基本思想是:先不考慮重疊的情況,把包含於某內容中的所有物件的數目先計算出來,然後再把計數時重複計算的數目排斥出去,使得計算的結果既無遺漏又無重複,這種計數的方法稱為容斥原理。

容斥原理(1)

如果被計數的事物

有a、b兩類,那麼,a類或b類元素個數= a類元素個數+

b類元素個數—既是a類又是b類的元素個數。

例1一次期末考試,某班有15人數學得滿分,有12人語文得滿分,並且有4人語、數都是滿分,那麼這個班至少有一門得滿分的同學有多少人?

分析:依題意,被計數的事物有語、數得滿分兩類,“數學得滿分”稱為“a類元素”,“語文得滿分”稱為“b類元素”,“語、數都是滿分”稱為“既是a類又是b類的元素”,“至少有一門得滿分的同學”稱為“a類或b類元素個數”的總和。

試一試:某班學生每人家裡至少有空調和電腦兩種電器中的一種,已知家中有空調的有41人,有電腦的有34人,二者都有的有27人,這個班有學生多少人?(並說一說你的想法。)

容斥原理(2)

如果被計數的事物有a、b、c三類,那麼,a類或b類或c類元素個數= a類元素個數+

b類元素個數+c類元素個數—既是a類又是b類的元素個數—既是a類又是c類的元素個數—既是b類又是c類的元素個數+既是a類又是b類而且是c類的元素個數。

例2某校六(1)班有學生54人,每人在暑假裡都參加體育訓練隊,其中參加足球隊的有25人,參加排球隊的有22人,參加游泳隊的有34人,足球、排球都參加的有12人,足球、游泳都參加的有18人,排球、游泳都參加的有14人,問:三項都參加的有多少人?

分析:仿照例1的分析,你能先說一說嗎?

例3 在1到1000的自然數中,能被3或5整除的數共有多少個?不能被3或5整除的數共有多少個?

分析:顯然,這是一個重複計數問題(當然,如果不怕麻煩你可以分別去數3的倍數,5的倍數)。我們可以把“能被3或5整除的數”分別看成a類元素和b類元素,能“同時被3或5整除的數(15的倍數)”就是被重複計算的數,即“既是a類又是b類的元素”。

求的是“a類或b類元素個數”。現在我們還不能直接計算,必須先求出所需條件。1000÷3=333……1,能被3整除的數有333個(想一想,這是為什麼?

)同理,可以求出其他的條件。

例4 分母是1001的最簡分數一共有多少個?

分析:這一題實際上就是找分子中不能整除1001的數。由於1001=7×11×13,所以就是找不能被7,11,13整除的數。

例5某個班的全體學生在進行了短跑、游泳、投擲三個專案的測試後,有4名學生在這三個專案上都沒有達到優秀,其餘每人至少有一項達到了優秀,達到了優秀的這部分學生情況如下表:

短跑游泳投擲短跑、游泳短跑、投擲游泳、投擲短路、游泳、投擲

1718156652

求這個班的學生共有多少人?

分析:這個班的學生數,應包括達到優秀和沒有達到優秀的。

試一試:一個班有42人,參加合唱隊的有30人,參加美術組的有25人,有5人什麼都沒有參加,求兩種都參加的有多少人?

例6在一根長的木棍上有三種刻度線,第一種刻度線將木棍分成10等份,第二種將木棍分成12等份,第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷,木棍總共被鋸成多少段?

分析:很顯然,要計算木棍被鋸成多少段,只需要計算出木棍上共有多少條不同的刻度線,在此基礎上加1就是段數了。

若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開,木棍有9條刻度線。在此木棍上加上將木棍分成12等份的11條刻度線,顯然刻度線有重複的,如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度線,也是如此。

所以,我們應該按容斥原理的方法來解決此問題。用容斥原理的那一個呢?想一想,被計數的事物有那幾類?

每一類的元素個數是多少?

4樓:匿名使用者

容斥原理

容斥原理常常使用,其實說簡單點,就是從多的往下減,減過頭了在加回來,又加多了再減,減多了再加……,最終得到正確結果。對於計數中容易出現重複的題目,我們常常採用容斥原理,去掉重複的情況。

基本情況的公式見**。。

|a|表示a集合中元素的個數。。

5樓:大連小宋老師

容斥原理,是求解陰影部分面積中非常重要的一種方法。

6樓:張老師**課堂

人教版數學三年級上期末考試題,求三(1)班有多少人?只參加賽跑的有多少人?此題考察的是“容斥原理”,題目雖然簡單,可利用“文氏圖”去直觀的理解,但基本思想還是需要同學們掌握好,以便應對複雜類似問題。

7樓:楚昱庫敏叡

容斥原理---簡單的說,就是先【容許】再【排斥】容斥原理1:兩個研究物件a,b,有:

a∪b=a+b-a∩b

===>a集合和b集合所有的元素=屬於a集合的元素+屬於b集合的元素-既屬於a集合又屬於b集合的元素

容斥原理2,三個研究物件a,b,c,有:

a∪b∪c=a+b+c-a∩b-b∩c-c∩a+a∩b∩c意思與上面一樣,無需贅述

8樓:埃尼阿克

主要就是初等集合論那部分的

集合的交 並 補 這些

我們學的多數是計算集合內的元素

比如說什麼一個班多少人 數學滿分多少人 語文滿分多少人 語文數學都滿分多少人 讓你算有多少人兩科都不滿分的 這類

要不就是什麼 參加什麼比賽的多少人 參加什麼比賽的多少人 都參加多少人 至少參加一項的多少人 這類的~

9樓:摯愛魔傑座

在計數時,必須注意無一重複,無一遺漏。為了使重疊部分不被重複計算,人們研究出一種新的計數方法,這種方法的基本思想是:先不考慮重疊的情況,把包含於某內容中的所有物件的數目先計算出來,然後再把計數時重複計算的數目排斥出去,使得計算的結果既無遺漏又無重複,這種計數的方法稱為容斥原理。

10樓:香彥滑英華

容斥原理:

在一些計數問題中,經常遇到有關集合元素個數的計算。我們用|a|表示有限集合a的元素個數。

原理一:給定兩個集合a和b,要計算a∪b中元素的個數,可以分成兩步進行:

第一步:先求出∣a∣+∣b∣(或者說把a,b的一切元素都“包含”進來,加在一起);

第二步:減去∣a∩b∣(即“排除”加了兩次的元素)

總結為公式:|a∪b|=∣a∣+∣b∣-∣a∩b∣。

原理二:給定三個集合a,b,c。要計算a∪b∪c中元素的個數,可以分三步進行:

第一步求|a|+|b|+|c|;

第二步減去|a∩b|,|a∩c|,|b∩c|;

第三步加上|a∩b∩c|。

多個集合依次類推。

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笑容 xi o r ng 含笑的神情 滿面 容量 r ng li ng 1.容積的大小叫做容量。寬容 ku n r ng 寬大有氣量,不計較或追究 大度 對損害群眾利益的行為絕不能 容許 r ng x 1.許可 原則問題決不 讓步。倦容 ju n r ng 疲倦的臉色 面帶 形容 x ng r ng...