1樓:sunshine冥雅
一 概念
(一)整數
1 整數的意義
自然數和0都是整數。
2 自然數
我們在數物體的時候,用來表示物體個數的1,2,3......叫做自然數。
乙個物體也沒有,用0表示。0也是自然數。
3計數單位
一(個)、
十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億......都是計數單位。
每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。這樣的計數法叫做十進位制計數法。
4 數字
計數單位按照一定的順序排列起來,它們所佔的位置叫做數字。
5數的整除
整數a除以整數b(b ≠ 0),除得的商是整數而沒有餘數,我們就說a能被b整除,或者說b能整除a 。
如果數a能被數b(b ≠ 0)整除,a就叫做b的倍數,b就叫做a的因數。倍數和因數是相互依存的。
因為35能被7整除,所以35是7的倍數,7是35的因數。
乙個數的因數的個數是有限的,其中最小的因數是1,最大的 因數是它本身。例如:10的因數有1、2、5、10,其中最小的因數是1,最大的因數是10。
乙個數的倍數的個數是無限的,其中最小的倍數是它本身。3的倍數有:3、6、9、12......其中最小的倍數是3 ,沒有最大的倍數。
個位上是0、2、4、6、8的數,都能被2整除,例如:202、480、304,都能被2整除。。
個位上是0或5的數,都能被5整除,例如:5、30、405都能被5整除。。
乙個數的各位上的數的和能被3整除,這個數就能被3整除,例如:12、108、204都能被3整除。
乙個數各位數上的和能被9整除,這個數就能被9整除。
能被3整除的數不一定能被9整除,但是能被9整除的數一定能被3整除。
乙個數的末兩位數能被4(或25)整除,這個數就能被4(或25)整除。例如:16、404、1256都能被4整除,50、325、500、1675都能被25整除。
乙個數的末三位數能被8(或125)整除,這個數就能被8(或125)整除。例如:1168、4600、5000、12344都能被8整除,1125、13375、5000都能被125整除。
能被2整除的數叫做偶數。
不能被2整除的數叫做奇數。
0也是偶數。自然數按能否被2 整除的特徵可分為奇數和偶數。
乙個數,如果只有1和它本身兩個因數,這樣的數叫做質數(或素數),100以內的質數有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
乙個數,如果除了1和它本身還有別的因數,這樣的數叫做合數,例如 4、6、8、9、12都是合數。
1不是質數也不是合數,自然數除了1外,不是質數就是合數。如果把自然數按其因數的個數的不同分類,可分為質數、合數和1。
每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因數,叫做這個合數的質因數,例如15=3×5,3和5 叫做15的質因數。
把乙個合數用質因數相乘的形式表示出來,叫做分解質因數。
例如把28分解質因數
幾個數公有的因數,叫做這幾個數的公因數。其中最大的乙個,叫做這幾個數的最大公因數,例如12的因數有1、2、3、4、6、12;18的因數有1、2、3、6、9、18。其中,1、2、3、6是12和1 8的公因數,6是它們的最大公因數。
如果較小數是較大數的因數,那麼較小數就是這兩個數的最大公因數。 幾個數的公因數的個數是有限的,
如果兩個數是互質數,它們的最大公因數就是1。
公因數只有1的兩個數,叫做互質數,成互質關係的兩個數,有下列幾種情況:
1和任何自然數互質。
相鄰的兩個自然數互質。
兩個不同的質數互質。
當合數不是質數的倍數時,這個合數和這個質數互質。
兩個合數的公因數只有1時,這兩個合數互質,如果幾個數中任意兩個都互質,就說這幾個數兩兩互質。
幾個數公有的倍數,叫做這幾個數的公倍數,其中最小的乙個,叫做這幾個數的最小公倍數,如2的倍數有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ......
3的倍數有3、6、9、12、15、18 ...... 其中6、12、18......是2、3的公倍數,6是它們的最小公倍數。。
如果較大數是較小數的倍數,那麼較大數就是這兩個數的最小公倍數。
如果兩個數是互質數,那麼這兩個數的積就是它們的最小公倍數。
而幾個數的公倍數的個數是無限的。
(二)小數
1 小數的意義
把整數1平均分成10份、100份、1000份...... 得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾...... 可以用小數表示。
一位小數表示十分之幾,兩位小數表示百分之幾,三位小數表示千分之幾......
乙個小數由整數部分、小數部分和小數點部分組成。數中的圓點叫做小數點,小數點左邊的數叫做整數部分,小數點左邊的數叫做整數部分,小數點右邊的數叫做小數部分。
在小數里,每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。小數部分的最高分數單位「十分之一」和整數部分的最低單位「一」之間的進率也是10。
2小數的分類
有限小數:小數部分的數字是有限的小數,叫做有限小數。 例如: 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小數。
無限小數:小數部分的數字是無限的小數,叫做無限小數。 例如: 4.33 ...... 3.1415926 ......
無限不迴圈小數:乙個數的小數部分,數字排列無規律且位數無限,這樣的小數叫做無限不迴圈小數。 例如:∏
迴圈小數:乙個數的小數部分,有乙個數字或者幾個數字依次不斷重複出現,這個數叫做迴圈小數。 例如: 3.555 ...... 0.0333 ...... 12.109109 ......
乙個迴圈小數的小數部分,依次不斷重複出現的數字叫做這個迴圈小數的迴圈節。 例如: 3.99 ......的迴圈節是「 9 」 , 0.5454 ......的迴圈節是「 54 」 。
純迴圈小數:迴圈節從小數部分第一位開始的,叫做純迴圈小數。 例如: 3.111 ...... 0.5656 ......
混迴圈小數:迴圈節不是從小數部分第一位開始的,叫做混迴圈小數。 3.1222 ...... 0.03333 ......
寫迴圈小數的時候,為了簡便,小數的迴圈部分只需寫出乙個迴圈節,並在這個迴圈節的首、末位數字上各點乙個圓點。如果迴圈 節只有 乙個數字,就只在它的上面點乙個點。例如:
3.777 ...... 簡寫作 0.5302302 ...... 簡寫作 。
(三)分數
1 分數的意義
把單位「1」平均分成若干份,表示這樣的乙份或者幾份的數叫做分數。
在分數裡,中間的橫線叫做分數線;分數線下面的數,叫做分母,表示把單位「1」平均分成多少份;分數線下面的數叫做分子,表示有這樣的多少份。
把單位「1」平均分成若干份,表示其中的乙份的數,叫做分數單位。
2 分數的分類
真分數:分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小於1。
假分數:分子比分母大或者分子和分母相等的分數,叫做假分數。假分數大於或等於1。
帶分數:假分數可以寫成整數與真分數合成的數,通常叫做帶分數。
3 約分和通分
把乙個分數化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數 ,叫做約分。
分子分母是互質數的分數,叫做最簡分數。
把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數,叫做通分。
(四)百分數
1 表示乙個數是另乙個數的百分之幾的數 叫做百分數,也叫做百分率 或百分比。百分數通常用"%"來表示。百分號是表示百分數的符號。
二 方法
(一)數的讀法和寫法
1. 整數的讀法:從高位到低位,一級一級地讀。
讀億級、萬級時,先按照個級的讀法去讀,再在後面加乙個「億」或「萬」字。每一級末尾的0都不讀出來,其它數字連續有幾個0都唯讀乙個零。
2. 整數的寫法:從高位到低位,一級一級地寫,哪乙個數字上乙個單位也沒有,就在那個數字上寫0。
3. 小數的讀法:讀小數的時候,整數部分按照整數的讀法讀,小數點讀作「點」,小數部分從左向右順次讀出每一位數字上的數字。
4. 小數的寫法:寫小數的時候,整數部分按照整數的寫法來寫,小數點寫在個位右下角,小數部分順次寫出每乙個數字上的數字。
5. 分數的讀法:讀分數時,先讀分母再讀「分之」然後讀分子,分子和分母按照整數的讀法來讀。
6. 分數的寫法:先寫分數線,再寫分母,最後寫分子,按照整數的寫法來寫。
7. 百分數的讀法:讀百分數時,先讀百分之,再讀百分號前面的數,讀數時按照整數的讀法來讀。
8. 百分數的寫法:百分數通常不寫成分數形式,而在原來的分子後面加上百分號「%」來表示。
(二)數的改寫
乙個較大的多位數,為了讀寫方便,常常把它改寫成用「萬」或「億」作單位的數。有時還可以根據需要,省略這個數某一位後面的數,寫成近似數。
1. 準確數:在實際生活中,為了計數的簡便,可以把乙個較大的數改寫成以萬或億為單位的數。
改寫後的數是原數的準確數。 例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數是 125430 萬;改寫成 以億做單位 的數 12.543 億。
2. 近似數:根據實際需要,我們還可以把乙個較大的數,省略某一位後面的尾數,用乙個近似數來表示。 例如: 1302490015 省略億後面的尾數是 13 億。
3. 四捨五入法:要省略的尾數的最高位上的數是4 或者比4小,就把尾數去掉;如果尾數的最高位上的數是5或者比5大,就把尾數捨去,並向它的前一位進1。
例如:省略 345900 萬後面的尾數約是 35 萬。省略 4725097420 億後面的尾數約是 47 億。
4. 大小比較
1. 比較整數大小:比較整數的大小,位數多的那個數就大,如果位數相同,就看最高位,最高位上的數大,那個數就大;最高位上的數相同,就看下一位,哪一位上的數大那個數就大。
2. 比較小數的大小:先看它們的整數部分,,整數部分大的那個數就大;整數部分相同的,十分位上的數大的那個數就大;十分位上的數也相同的,百分位上的數大的那個數就大......
3. 比較分數的大小:分母相同的分數,分子大的分數比較大;分子相同的數,分母小的分數大。分數的分母和分子都不相同的,先通分,再比較兩個數的大小。
(三)數的互化
1. 小數化成分數:原來有幾位小數,就在1的後面寫幾個零作分母,把原來的小數去掉小數點作分子,能約分的要約分。
2. 分數化成小數:用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數,有的不能除盡,不能化成有限小數的,一般保留三位小數。
3. 乙個最簡分數,如果分母中除了2和5以外,不含有其他的質因數,這個分數就能化成有限小數;如果分母中含有2和5 以外的質因數,這個分數就不能化成有限小數。
4. 小數化成百分數:只要把小數點向右移動兩位,同時在後面添上百分號。
5. 百分數化成小數:把百分數化成小數,只要把百分號去掉,同時把小數點向左移動兩位。
6. 分數化成百分數:通常先把分數化成小數(除不盡時,通常保留三位小數),再把小數化成百分數。
7. 百分數化成小數:先把百分數改寫成分數,能約分的要約成最簡分數。
(四)數的整除
1. 把乙個合數分解質因數,通常用短除法。先用能整除這個合數的質數去除,一直除到商是質數為止,再把除數和商寫成連乘的形式。
2. 求幾個數的最大公因數的方法是:先用這幾個數的公因數連續去除,一直除到所得的商只有公因數1為止,然後把所有的除數連乘求積,這個積就是這幾個數的的最大公因數 。
3. 求幾個數的最小公倍數的方法是:先用這幾個數(或其中的部分數)的公因數去除,一直除到互質(或兩兩互質)為止,然後把所有的除數和商連乘求積,這個積就是這幾個數的最小公倍數。
4. 成為互質關係的兩個數:1和任何自然數互質 ; 相鄰的兩個自然數互質; 當合數不是質數的倍數時,這個合數和這個質數互質; 兩個合數的公因數只有1時,這兩個合數互質。
(五) 約分和通分
約分的方法:用分子和分母的公因數(1除外)去除分子、分母;通常要除到得出最簡分數為止。
通分的方法:先求出原來的幾個分數分母的最小公倍數,然後把各分數化成用這個最小公倍數作分母的分數。
三 性質和規律
(一)商不變的規律
商不變的規律:在除法裡,被除數和除數同時擴大或者同時縮小相同的倍,商不變。
(二)小數的性質
小數的性質:在小數的末尾添上零或者去掉零小數的大小不變。
(三)小數點位置的移動引起小數大小的變化
1. 小數點向右移動一位,原來的數就擴大10倍;小數點向右移動兩位,原來的數就擴大100倍;小數點向右移動三位,原來的數就擴大1000倍......
2. 小數點向左移動一位,原來的數就縮小到原來的1/10;小數點向左移動兩位,原來的數就縮小到原來的1/100;小數點向左移動三位,原來的數就縮小到原來的1/1000......
3. 小數點向左移或者向右移位數不夠時,要用「0"補足位。
(四)分數的基本性質
分數的基本性質:分數的分子和分母都乘以或者除以相同的數(零除外),分數的大小不變。
(五)分數與除法的關係
1. 被除數÷除數= 被除數/除數
2. 因為零不能作除數,所以分數的分母不能為零。
3. 被除數 相當於分子,除數相當於分母。
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