1樓：jgdga樂
假設g是a_5的子群。如果|g|=15，那麼sylow定理可以推出g是迴圈群（這個比|g|=20的情況簡單，我就不細說了），但a_5中沒有15階元，矛盾。如果|g|=20，那麼g有唯一的sylow 5-子群，記成h，它是g的正規子群。
因為5是質數，所以h同構於z/5z。那麼g中其餘的元素都以共軛的方式作用在h上。從h=z/5z到自身的群同構有多少個（這裡記得z/5z是那個加法群，請忘掉z/5z裡的乘法）？
一共4個，它們都把0映成0，並且分別把1映成1，2，3，4。把1映成1的那個同態記成a_1，把1映成2的那個記成a_2，類似有a_3和a_4。這裡，比如說a_3，它把1映成3，然後又是z/5z到z/5z的群同態，所以a_3就把z/5z裡的所有元素都乘3。
那麼(a_2)^2就把1映成4（先成1變成2，再乘2變成4），所以(a_2)^2 = a_4；類似(a_3)^2=a_4，(a_4)^2=a_1=id，其中id是z/5z到z/5z的恒同對映。由a_1=id，a_2，a_3和a_4組成的這個群記成aut(h)，它是h到h的所有自同構所組成的群，這裡h是z/5z，而按上文所證，aut(h)同構於z/4z（以a_2或者a_3為生成元）。現在看g（就是這個20階群）的乙個sylow 2-子群，記成p，它是4階的（按sylow定理，g的這樣的子群可能有1個，也可能有5個，不過無所謂）。
p在h上有乙個共軛作用（因為h是g的正規子群），p中乙個元素p把h中乙個元素h映成ph p^(-1)。把h映成ph p^(-1)，這是從h到h的乙個群同構（證明它是可逆的群同態），也就是aut(h)裡的乙個元素，這個元素是由p決定的。這給出了從p到aut(h)的乙個群同態，這個群同態的核是1，因為a_5中的5階元與任何非5階元都不交換（試證之，並證明由此可以推出上面那個群同態的核是1）。
現在p和aut(h)都是4階的，因此p和aut(h)同構。上文已證aut(h)就是z/4z，所以p也和z/4z同構，於是p必須有4階元。但是a_5中尚且沒有4階元（s_5中有，但那不是偶置換），因此矛盾。
設h是群g的子群，證明：對任意的g屬於g ，集合k={g＾-1hg|屬於h}是g的子群，並證明h與k之間群同構
2樓：匿名使用者
⑴。 看任意k∈k.k＝g＾-1hg, h∈h. h是子群，h^-1∈h.
從而k^-1＝（g＾-1hg）^-1＝g＾-1（h^-1）g∈k.①
又設：j＝g＾-1rg∈k,r∈h.kj＝（g＾-1hg）（g＾-1rg）＝g＾-1hjg
h是子群,hj∈h,從而kj∈k.②.從①②，k也是子群。
⑵。 作h到k的對映f：h→f（h）＝g^-1hg.容易驗證f是h到k的單全射，並且
f（h^-1）＝（f（h））^-1,f（hj）＝f（h）f（j）[h、j∈h]
[驗證就留給樓主啦！]
∴f是h與k之間的乙個（群）同構對映。即h與k是（群）同構的。
3樓：匿名使用者
是近世代數的。。。還沒學。。。o(╯□╰)o
4樓：一騎逆轉
是高等數學嗎？還沒學艾
設g是乙個群，h，k是g的子群且h在g中的指數有限，求證:k∩h在k中的指數也有限
5樓：夏de夭
）|利用已知的條件[g:h]有限，證明[k:（k交h）]<=[g:h]：
令a=｛k（k交h）|k屬於k｝，b=｛ah|a屬於g｝，令f：k（k交h）—>kh，則f顯然是a到b的對映，現證明f為單射：令k1h=k2h，則k1^（-1）k2屬於h，所以k1^（-1）k2屬於k交h，所以k2（k交h）=k1（k1^（-1）k2）（k交h）=k1（k交h），所以f是單射，所以|a|<=|b|，從而[k:
（k交h）]<=[g:h]，所以[k：（k交h）]有限
還有大神給出直接做陪集分解的方法，
設k=k1（k交h）∪k2（k交h）∪…為k的左陪集分解若k1h=k2h，則k1^（-1）k2屬於k交h，所以k1=k2所以若k1不等於k2則k1h與k2h交為空集從而k1h、k2h、…均包含在g的左陪集分解式中，所以[k:（k交h)]<=[g:h]
6樓：匿名使用者
後一種方法有問題：k1-1k2\inh交k，不能得到k1=k2
教科書抽象代數定理：群g, h<=g, n是g的正規子群，則hn/n相似於h/(h∩n).
7樓：鬼王囈語
商群中hn/n的元素是hnn,又n屬於n，從而由商群的運算hnn=h(nn)=hn.所以令ψ ： x ------> xn 。
我們還需說明該對應是對映即其良定性，這個對映是自然同態對映限制在其子群h上的對映，故ψ 良定。
另外命題中是讀「同構於」而不是「相似於」
8樓：
hn/n中元素為hnn=hn ,h∈h
設h是有限群g的乙個子群. p是|g|的最小素因子. 如果|g|/|h|=p,試證h一定是g的乙個正規子群.
9樓：遊子涯
因為|g|/|h|=p，所以h的左陪集有p個。
令x為h的全體左陪集所成的集合: x=。
定義群作g在x上的群作用為 g(xh)=(gxh)，g∈g。
因此有同態σ:g→s(x)
(這裡s(x)表示集合x上的置換構成的對稱群。由於|x|=p，所以|s(x)|=p!。)
上面括號裡的內容不清楚可以追問。
由群同態基本定理可得g/(ker σ)≌imσ[g：h]=p。
而[g：ker σ]又整除p，則ker σ只能等於h。
說明h一定是g的乙個正規子群。
證明:設f:g到h的群同態,如果g是g的乙個有限階元素,則f(g)的階整除g的階
10樓：匿名使用者
整除g的階吧
設g的階是k，則e=f(e)=f(g^k)=f(g)^k，所以f(g)的階整除g的階
h是g的正規子群h'是g'的正規子群 g與g'同構 h與h'同構 為什麼他們的商群不同構
11樓：的大嚇是我
兩個同構的群只能說明其存在乙個雙射f使得g與g′同構，但是這裡的f不一定是乙個群同構（區別於對映的同構），群同構指的是f為乙個雙射並且滿足f(ab)=f(a)f(b)的同態。因此在這裡我們並不能通過群同構定理來構造g→g′/h′的滿同態來證明其kernel為h，因此自然就不能證明其商群的同構性質了。
關於反例的問題是不能通過有限群來作為反例的（這是因為這時候的商群也為乙個有限群，元素對應滿足一 一對映的），可以利用商群為無限群的反例來說明。
g是交換群,f是g→g'的
12樓：匿名使用者
g是交換群，g中的群運算記成加法。g的單位元記成0。對於g中的元素x和y，以-y記y的逆元，x-y表示x+(-y)。
第一問。假定x 是f^(-1) f(h)裡的元素，那麼f(x)在f(h)裡，就是說存在h中的元素h，使得f(x)=f(h)。由於f是同態，所以f(x-h)=f(x)-f(h)=0，這裡減法和0的意義如上一段所述。
那麼x-h在ker(f)裡。所以x=h+(x-h)在h+ker(f)裡。
第二問。就用h表示這個子群了，不寫那個撇了。
先要證f f^(-1) (h) 在h交im(f)裡。對於f f^(-1) (h)裡的任意乙個元素y，有乙個f^(-1) (h)裡的元素x，使得y=f(x)。那麼現在y=f(x)就在h裡，也在im(f)裡。
再證左邊包含右邊。假如y在h裡，也在im(f)裡，那麼存在乙個x使得y=f(x)。於是f(x)在h裡，就是說x在f^(-1) (h)裡，那麼y=f(x)就包含在等式左邊的那個集合裡。
這就是第二問的證明。就是把那些集合都寫出來而已。
設G是交換群，h是G中所有有限價無素的集合確規定證明1 h 是g的正規子群2在商群G
1 樓上的不對。應該先證明h是g的子群。設a屬於h，則a的階有限。因為ord a ord a 回 1 所以a 1屬於答h 若a,b都屬於h，不妨設ord a m,ord b n，因為g可交換，所以 ab mn a mn b mn a m n b n m e n e m e，故ord ab mn,所以...
G是交換群,f是GG的
g是交換群，g中的群運算記成加法。g的單位元記成0。對於g中的元素x和y，以 y記y的逆元，x y表示x y 第一問。假定x 是f 1 f h 裡的元素，那麼f x 在f h 裡，就是說存在h中的元素h，使得f x f h 由於f是同態，所以f x h f x f h 0，這裡減法和0的意義如上一段...
籃球裡的G1G2G3G4G5G6等是啥意思
g就是game的意思 一般把季後賽的第幾場成為game 數字 g1就是第一場比賽 就是比賽的場次，g1是第一場，由於聯盟採取的7場4勝，所有一共有g1，g2，g3.第一場比賽，第二場比賽 g1，就是第一場，g2 第二場，以此類推 你的命，如物，卻不在你手中。曲線中的g0,g1,g2,g3,g4分別是...